H
huynhbachkhoa23
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Giả thiết 1.
Cho $\lambda_i$ với $i=1,2,3,...,n$ là các số thực dương thoả mãn $\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n=1$. $f(x)$ là hàm số dương, liên tục và lõm trên trên miền $[a,b]$. Nếu $x_1, x_2,...,x_n$ và $y_1, y_2,...,y_n$ là các số thực thuộc $[a,b]$ sao cho $(x_1, x_2,...,x_n)\succ(y_1, y_2,...,y_n)$ thì:
$$\dfrac{\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)+...+ \lambda_n f(x_n)}{f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+...+\lambda_n x_n)}\ge \dfrac{\lambda_1f(y_1)+\lambda_2f(y_2)+...+ \lambda_n f(y_n)}{f(\lambda_1y_1+\lambda_2y_2+...+\lambda_n y_n)}$$
Giả thiết 2.
Cho $\lambda_i$ với $i=1,2,3,...,n$ là các số thực dương thoả mãn $\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n=1$. $f(x)$ là hàm số liên tục và lõm trên trên miền $[a,b]$. Nếu $x_1, x_2,...,x_n$ và $y_1, y_2,...,y_n$ là các số thực thuộc $[a,b]$ sao cho $(x_1, x_2,...,x_n)\succ(y_1, y_2,...,y_n)$ thì:
$$\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)+...+ \lambda_n f(x_n)-f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+...+\lambda_n x_n)\ge \lambda_1f(y_1)+\lambda_2f(y_2)+...+ \lambda_n f(y_n)-f(\lambda_1y_1+\lambda_2y_2+...+\lambda_n y_n)$$
Trường hợp đặc biệt. Cho các số thực $a,b,x,y$ sao cho $(a,b)\succ (x,y)$. Chứng minh:
$$\dfrac{3}{4}a^2+\dfrac{1}{4}b^2-\dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{1}{4}y^2\ge \left(\dfrac{3}{4}a+\dfrac{1}{4}b\right)^2-\left(\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{4}y\right)^2$$
Sau khi tác giả quan sát bất đẳng thức Schur bậc 3, tác giả tổng quát lên: Cho $x_k>0$ với $k=1,2,3,...,n$ thì:
$$(n-1)\sum\limits_{k=1}^n x_k^n+n\prod\limits_{k=1}^n x_k\ge \left(\sum\limits_{k=1}^n x_k\right)\left(\sum\limits_{k=1}^n x_k^{n-1}\right)$$
Và tiếp tục tổng quát lên:
Cho $a_k\in \mathbb{I}$ với $\mathbb{I}\subseteq\mathbb{R}$ $(k=1,2,3,...,n)$, $f:\mathbb{I}\to \mathbb{R}$ sao cho $f$ và $f'$ là các hàm số lồi. Khi đó:
$$(n-1)\sum\limits_{k=1}^nf(a_k)+nf\left(\dfrac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^na_k\right)\ge \sum\limits_{i,j=1}^nf\left(\dfrac{(n-1)a_i+a_j}{n}\right)$$
Cho $\lambda_i$ với $i=1,2,3,...,n$ là các số thực dương thoả mãn $\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n=1$. $f(x)$ là hàm số dương, liên tục và lõm trên trên miền $[a,b]$. Nếu $x_1, x_2,...,x_n$ và $y_1, y_2,...,y_n$ là các số thực thuộc $[a,b]$ sao cho $(x_1, x_2,...,x_n)\succ(y_1, y_2,...,y_n)$ thì:
$$\dfrac{\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)+...+ \lambda_n f(x_n)}{f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+...+\lambda_n x_n)}\ge \dfrac{\lambda_1f(y_1)+\lambda_2f(y_2)+...+ \lambda_n f(y_n)}{f(\lambda_1y_1+\lambda_2y_2+...+\lambda_n y_n)}$$
Giả thiết 2.
Cho $\lambda_i$ với $i=1,2,3,...,n$ là các số thực dương thoả mãn $\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n=1$. $f(x)$ là hàm số liên tục và lõm trên trên miền $[a,b]$. Nếu $x_1, x_2,...,x_n$ và $y_1, y_2,...,y_n$ là các số thực thuộc $[a,b]$ sao cho $(x_1, x_2,...,x_n)\succ(y_1, y_2,...,y_n)$ thì:
$$\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)+...+ \lambda_n f(x_n)-f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+...+\lambda_n x_n)\ge \lambda_1f(y_1)+\lambda_2f(y_2)+...+ \lambda_n f(y_n)-f(\lambda_1y_1+\lambda_2y_2+...+\lambda_n y_n)$$
Trường hợp đặc biệt. Cho các số thực $a,b,x,y$ sao cho $(a,b)\succ (x,y)$. Chứng minh:
$$\dfrac{3}{4}a^2+\dfrac{1}{4}b^2-\dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{1}{4}y^2\ge \left(\dfrac{3}{4}a+\dfrac{1}{4}b\right)^2-\left(\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{4}y\right)^2$$
Sau khi tác giả quan sát bất đẳng thức Schur bậc 3, tác giả tổng quát lên: Cho $x_k>0$ với $k=1,2,3,...,n$ thì:
$$(n-1)\sum\limits_{k=1}^n x_k^n+n\prod\limits_{k=1}^n x_k\ge \left(\sum\limits_{k=1}^n x_k\right)\left(\sum\limits_{k=1}^n x_k^{n-1}\right)$$
Và tiếp tục tổng quát lên:
Cho $a_k\in \mathbb{I}$ với $\mathbb{I}\subseteq\mathbb{R}$ $(k=1,2,3,...,n)$, $f:\mathbb{I}\to \mathbb{R}$ sao cho $f$ và $f'$ là các hàm số lồi. Khi đó:
$$(n-1)\sum\limits_{k=1}^nf(a_k)+nf\left(\dfrac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^na_k\right)\ge \sum\limits_{i,j=1}^nf\left(\dfrac{(n-1)a_i+a_j}{n}\right)$$
Trích: "Bài toán hay - lời giải đẹp - đam mê toán học"