[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Toán 9 Giả sử $x,y,z$ là các số nguyên sao cho $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=xyz$. CMR:$(x^3+y^3+z^3)\vdots...$
- Thread starter dangthiminhtam2003@gmail.com
- Ngày gửi
- Replies 1
- Views 298
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Ta có: [tex](x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=xyz\\\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2=xyz\\\Leftrightarrow x^2+y^2+x^2-xy-yz-zx=\frac{xyz}{2}[/tex]
Mặt khác:[tex]x^3+y^3+z^3-3xyz\\=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz\\=(x+y+z)^3-3z(x+y)(x+y+z)-3xy(x+y+z)\\=(x+y+z)[(x+y+z)^2-3z(x+y)-3xy]\\=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)[/tex]
Nên [tex]x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z).\frac{xyz}{2}\\\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=(x+y+z).\frac{xyz}{2}+3xyz\\\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=(x+y+z+6).\frac{xyz}{2}\\\Rightarrow (x^3+y^3+z^3)\vdots(x+y+z+6)(dpcm)[/tex]
Mặt khác:[tex]x^3+y^3+z^3-3xyz\\=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz\\=(x+y+z)^3-3z(x+y)(x+y+z)-3xy(x+y+z)\\=(x+y+z)[(x+y+z)^2-3z(x+y)-3xy]\\=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)[/tex]
Nên [tex]x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z).\frac{xyz}{2}\\\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=(x+y+z).\frac{xyz}{2}+3xyz\\\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=(x+y+z+6).\frac{xyz}{2}\\\Rightarrow (x^3+y^3+z^3)\vdots(x+y+z+6)(dpcm)[/tex]
