$\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+xz}} +\frac{z}{z+\sqrt{3z+yx}}\le 1$

[nguyenquynang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn x+y+z=3
CM: [TEX]\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+yx}}\leq 1[/TEX]

 

[c2nghiahoalgbg]

lược giải này


Ta có $\sqrt{3x+yz}$=$\sqrt{x(x+y+z)+yz}$=$\sqrt{(x+y)(z+x)}$\geq $(\sqrt{xz}+\sqrt{xy})=\sqrt{x}(\sqrt{y}+\sqrt{z})$


$\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}$\leq$ \frac{x}{x+\sqrt{x}(\sqrt{y}+\sqrt{z})}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$

Thiết lập các BĐT tương tự sau đó cộng lại được đpcm

 

[longbien97]

một cách giải khác

ta có
[TEX]P=3-(\frac{\sqrt[]{3x+yz}}{x+\sqrt[]{3x+yz}}+\frac{\sqrt[]{3y+zx}}{y+\sqrt[]{3y+zx}}+\frac{\sqrt[]{3z+xy}}{z+\sqrt[]{3z+xy}})[/TEX]
từ gt \Rightarrow 3x+yz=(x+y)(x+z)
tương tự nhé
[TEX]P=3-(\frac{\sqrt[]{(x+y)(x+z)}}{x+\sqrt[]{(x+y)(x+z)}}+...........................)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P\leq 3-(\frac{\sqrt[]{(x+y)(x+z)}}{x+\frac{3+x}{2}}+................)[/TEX]
[TEX]P\leq 3-\frac{2}{3}(\frac{\sqrt[]{(x+y)(x+z)}}{x+1)}+\frac{\sqrt[]{(y+z)(y+x)}}{y+1)}+\frac{\sqrt[]{(z+x)(z+y)}}{z+1})[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P\leq 3-\frac{2}{3}.3\sqrt[3]{\frac{(x+y)(x+z)(z+y)}{(x+1)(y+1)(z+1)}}[/TEX]
bây giờ ta chỉ cần CM :
(x+y)(x+z)(z+y)\geq(x+1)(y+1)(z+1)
thật vậy ta có
(3-x)(3-y)(3-z)\geq (x+1)(y+1)(z+1)
\Leftrightarrow xy+yz+zx\geq xyz+2
[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 1+\frac{2}{xyz}[/TEX]
ta có :
[TEX]xyz\leq 1 [/TEX]
nên BDT trên hiển nhiên đúng theo AM-GM
[TEX]\Rightarrow P\leq 1[/TEX]
[TEX]P=1\Leftrightarrow x=y=z=1[/TEX]