$\frac{a}{b(c+a)}+\frac{b}{a(b+c)}+\frac{c}{a^2+b^ 2}\geq\frac{3}{a+b}$

[nhocdangyeu789]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

với a, b, c >0, chứng minh rằng:
[TEX]\frac{a}{b(c+a)}+\frac{b}{a(b+c)}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq\frac{3}{a+b}[/TEX]
[TEX]\frac{a}{a+2b+3c}+\frac{b}{b+2c+3a}+\frac{c}{c+2a+3b}\geq\frac{1}{2}[/TEX]

 

[coganghoctapthatgioi]

Câub, A=[TEX]\frac{a}{a+2b+3c}+\frac{b}{b+2c+3a}+\frac{c}{a+2a+3b}[/TEX]
Ta có:
[TEX]\frac{a}{a+2b+3c}+\frac{a+2b+3c}{36a}[/TEX] \geq 2.[TEX]\frac{1}{6}[/TEX]

[TEX]\frac{b}{b+2c+3a}+\frac{b+2c+3a}{36b}[/TEX] \geq 2.[TEX] \frac{1}{6}[/TEX]

[TEX]\frac{c}{c+2a+3b}+\frac{c+2a+3b}{36c}[/TEX] \geq 2.[TEX]\frac{1}{6}[/TEX]

\Rightarrow A+[TEX]\frac{a+2b+3c}{36a}+\frac{b+2c+3a}{36b}+\frac{c+2a+3b}{36c}[/TEX] \geq 1 (*)

Lại có: [TEX]\frac{a+2b+3c}{36a}+\frac{b+2c+3a}{36b}+\frac{c+2a+3b}{36c}[/TEX]

=[TEX]\frac{a}{36a}+\frac{b}{36b}+\frac{c}{36}+\frac{b}{18a}+\frac{a}{18c}+\frac{c}{18b}+\frac{a}{12b}+......\frac{b}{12c}+\frac{c}{12a}[/TEX]

\geq [TEX]\frac{1}{12}+3.\sqrt[3]{\frac{b}{18a}.\frac{a}{18c}.\frac{c}{18b}}+3. \sqrt[3]{\frac{a}{12b}.\frac{b}{12c}.\frac{c}{12a}}[/TEX]=[TEX]\frac{1}{2}[/TEX] (**)
Từ (*) và (**) \Rightarrow A\geq [TEX]\frac{1}{2}[/TEX]
Dấu''='' xảy ra khi a=b=c
Nếu đúng ấn vào chũ đúng hộ cái!

 

[minhtuyb]

Bài trên sai kiến thức khá cơ bản:
$A+B\ge 1; B\ge \frac{1}{2}$ thì không thể suy ra $A\ge \frac{1}{2}$ (Chắc bạn hiểu ý mình ^_^)
SOLUTION: (b)
$$LHS=\frac{a^2}{a^2+2ab+3ac}+\frac{b^2}{b^2+2bc+3ab}+\frac{c^2}{c^2+2ac+3bc}\\ \ge^{Schwarz} \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+5(ab+bc+ca)}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+3(ab+bc+ca)}\\ \ge \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+(a+b+c)^2}=\frac{1}{2}=RHS$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c\ <Q.E.D>$

 

[nhocdangyeu789]

Bài trên sai kiến thức khá cơ bản:
$A+B\ge 1; B\ge \frac{1}{2}$ thì không thể suy ra $A\ge \frac{1}{2}$ (Chắc bạn hiểu ý mình ^_^)
SOLUTION: (b)
$$LHS=\frac{a^2}{a^2+2ab+3ac}+\frac{b^2}{b^2+2bc+3ab}+\frac{c^2}{c^2+2ac+3bc}\\ \ge^{Schwarz} \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+5(ab+bc+ca)}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+3(ab+bc+ca)}\\ \ge \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+(a+b+c)^2}=\frac{1}{2}=RHS$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c\ <Q.E.D>$

bạn có thể giải kĩ hơn dc ko, mình ko hiểu đc mấy cái bất đẳng thức