Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Copxki cho 2 bộ số: $\sqrt{x};\sqrt{2y}$ và $\sqrt{\dfrac{1}{x}};\sqrt{\dfrac{2}{y}}$, ta có
$(x+2y)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}) \ge (1+2)^2=9$
mà $x+2y=3 \Rightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y} \ge 3$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm, ta có
$x+y+y \ge 3\sqrt[3]{xy^2}$
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y} \ge \dfrac{3}{\sqrt[3]{xy^2}}$
Nhân vế với vế, ta có
$(x+2y)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}) \ge 9$
mà $x+2y=3 \Rightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y} \ge 3$
Giả sử $\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y} < 3$
$\Leftrightarrow 2x+y < 3xy$ ( do $x;y > 0$ )
mà $x+2y = 3$, cộng vế với vế, ta có
$3x+3y < 3xy+3$
$\Leftrightarrow (x-1)(y-1) > 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x<1;y<1\\x>1;y>1 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x+2y<3\\x+2y>3 \end{matrix}\right.$ ( loại )
Vậy, $\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y} \ge 3$
@soicon_boy_9x: liệt kê nhiều cách cho bạn đó tham khảo thui, bất đẳng thức Cauchy Schwarz làm bài kiểm tra không thuận tiện, phải chứng minh lại, trừ đi thi trường chuyên mới được xài luôn thui
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
