kết hợp bài làm của Tú và Vy
- Diện tích tứ giác $BCDE$ max khi là hình thang cân đáy nhỏ $CD$ và có góc $\widehat{BCD}=120^o$ (đây là một bài toán lớp 9, hồi xưa có làm nhưng không nhớ rõ cách c/m
)
-Diện tích tam giác $ABE$ max khi tam giác $AEB$ cân tại $A$ (do $S_{ABE}=\dfrac{1}{2}AB.AE.\sin A\le \dfrac{1}{2}AB.AE=a^2$)
Nhầm đỉnh nha lão ^^
Chứng minh bài toán lớp 9:
Giả sử có tứ giác ABCD với AB=BC=AD=a.
Goi $\widehat{ABD}=\alpha \\ \widehat{DBC}=\beta$
$BD=2AB.cos\alpha$
Có:
$S_{ABD}=\dfrac12 AB.BD.\sin\alpha=a^2\sin\alpha\cos\alpha$
$S_{BCD}=\dfrac12BD.BC.\sin\beta=a^2\cos\alpha\sin \beta$
$S_{ABCD}=a^2\cos\alpha(\sin\alpha+\sin\beta) \\ \le a^2\cos\alpha(1+\sin\alpha) $
Xét: $\cos\alpha(\sin\alpha+\sin\beta) \\ = \cos\alpha+\cos\sin\alpha= \dfrac12\cos\alpha+ \dfrac12\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha\\ \le\sqrt{(\dfrac14+\dfrac14+\sin^2\alpha)3\cos^2 \alpha}\\ =\sqrt{3(\dfrac12+\sin^2\alpha)\cos^2\alpha} \\ \le \sqrt{3\dfrac{(\dfrac12+\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2}4}\\ =\dfrac{3\sqrt3}4$
Vậy $S_{ABCD} \le \dfrac{3\sqrt3}4a^2$ , dấu đăng thức \Leftrightarrow $\begin{cases}\alpha=30^o\\ \beta=90^o\end{cases}$
Hơ,làm xong cũng rũ măt ra rồi,được cái thoải mái
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn