$\fbox{Toán 12} \text{SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG HỆ PHƯƠNG TRÌNH ; BẤT ĐẲNG THỨC}$

[hthtb22]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Kiến thức cần nắm vững:
Cách khảo sát một hàm số (các quy tắc tính đạo hàm; cách vẽ bảng biến thiên ; cực trị suy ra từ bản biến thiên)
Lưu ý : Khi vẽ bảng biến thiên cần chú ý tới ĐKXĐ

Kiến thức bổ sung:

+) Nếu $f(x)=0 ; f(x)$ đơn điệu thì phương trình có tối đa một nghiệm
Ứng dụng : Khi gặp một hàm số là tổng của các hàm só không liên quan đến nhau ta có thể mò nghiệm bằng máy tính sau đó tính đạo hàm để chứng minh đơn điệu
Mở rộng : $f(x)=g(x)$ trong đó $f(x)$ đồng biến; $g(x)$ nghịch biến thì phương trình có tối đa 1 nghiệm

+) Hàm $f(t)$ đơn điệu (phương trình đặc trưng)
$f(x)=f(y) \Leftrightarrow x=y$
Ứng dụng : Nếu ta gặp 1 hệ phương trình việc đầu tiên ta sẽ quan tâm là xem từng phương trình một. Ta sẽ biến đổi đưa về phương trình đặc trưng --> mối quan hệ đơn giản giữa x và y
Mở rộng : $f(x) \ge f(y) \Leftrightarrow x \ge y$ nếu $f(x)$ đồng biến và ngược lại

+) Mở rộng của định lí la-gờ-răng (dành cho bạn nào thi vào lớp tài năng)
Nếu f(x) có đạo hàm cấp n =0 có m nghiệm thì phương trình có tối đa (m+n) nghiệm

Các ví dụ minh họa

VD1: Giải bất phương trình :
$$\sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{2x^2}\ge\sqrt[3]{2x^2+1}-\sqrt[3]{x+1}$$

Nhận xét
Cách giải bài toán khá rõ ; ta thấy việc đưa về phương trình đặc trưng không quá phức tạp
Cách giải
PT $\Leftrightarrow \sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{x+1} \ge \sqrt[3]{2x^2+1}+\sqrt[3]{2x^2}$
Xét hàm số $f(t)=t+\sqrt[3]{t^3+1}$
Có $f'(t)=1+\dfrac{t^2}{\sqrt[3]{(t^3+1)^2}}>0$
PT $\Leftrightarrow f(\sqrt[3]{x+1}) \ge f(\sqrt[3]{2x^2})$
$\Leftrightarrow \dfrac{-1}{2} \le x\le 1$

VD2: Đề thi đại học khối A năm 2014

Lời giải (thầy Trần Phương)

Mình đưa ra ví dụ này để các bạn thấy rằng lí do tại sao bất đẳng thức là câu khó nhất trong đề thi đại học. Phương pháp hàm số là phương hướng trong bài toán này nhưng đi đến đích vô cùng gian nan chúng ta phải sử dụng các bất đẳng thức phụ các bất đẳng thức từ trên giời rơi xuống để đưa chúng về cùng 1 biến.

Bài tập
(Mình hy vọng các bạn phi giải các bài toán sẽ đưa ra cách suy nghĩ ; bình luận về bài toán hơn là đáp án)

1. $\sqrt{x^3+3x^2+6x+16} \le 2\sqrt{3}+\sqrt{4-x}$

2. Cho $\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{2y}{x}+\dfrac{1}{y^2}=11$.
Tìm cực trị của biểu thức ;
$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2y}{x}+\dfrac{3}{y^2}$

3. $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2-x-y}.\sqrt[3]{x-y}=y& \\ 2(x^2+y^2)=11+3\sqrt{2x-1} & \end{matrix}\right.$

4. $\left\{\begin{matrix}\log_2{x}=2^{y+2}&\\ 4\sqrt{1+x}+xy\sqrt{4+y^2}& \end{matrix}\right.$

5. $3^x=1+x+\log_{3}(1+2x)$ (đã fixx)

 

[phannhungockhanh]

câu 4, 5 có sai đề không bạn?
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

 

[micky191]

sử dụng tính đơn điệu hàm số giúp mình câu này tks mọi người nhiều : Giải pt và hệ pt
1. X.(2.căn(5X-1) - căn (5-X) ) = 1/3 . (2X+4)
2, giải hệ pt :
pt 1 : X^6 - Y^3 +X^2 -9X^2= 28Y + 30
pt 2 : 2.căn(2X+3)=Y-2X-1

 

[hthtb22]

Câu 6(của bạn micky191):
$x(2\sqrt{5x-1}-\sqrt{5-x})=\dfrac{2x+4}{3}$

Lời giải
ĐK: $-\dfrac{1}{5} \le x \le 5$
Xét $f(x)=2\sqrt{5x-1}-\sqrt{5-x}$
Có $f'(x)= \dfrac{10}{2\sqrt{5x-1}}+\dfrac{1}{2\sqrt{5-x}} >0$
Nên $f(x)$ đồng biến
Xét $g(x)=\dfrac{2+\dfrac{4}{x}}{3}$
$g'(x)=\dfrac{-4}{3x^2}<0$
Nên $g(x)$ nghịch biến

PT tương đương $ f(x)=g(x)$
Sử dụng kiến thức bổ sung đầu tiên mình đưa ra

Thấy $f(1)=g(1)$ nên $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình

 

[vuhoang_97]

câu 5 rễ nhất

$3^x=1+x+log_3{1+2x}$

$\Leftrightarrow 3^x+x=(1+2x)+log_3(1+2x)$

$\Leftrightarrow 3^x+log_3(3^x)=(1+2x)+log_3(1+2x)$

Dễ thấy hàm $f(t) = t+log_3t$ đồng biến $\forall t > 0$

nên pt trên $\Leftrightarrow f(3^x)=f(2x+1)$

$\Leftrightarrow g(x) 3^x-2x-1=0$

có $g'(x)=3^x.ln3-2$. pt $g'(x)=0 \Leftrightarrow x=log_3\dfrac{2}{ln3}$

Suy ra pt $g(x) = 0$ có tối đa 2 ngiệm

Dễ thấy $g(0)=g(1)=0$ nên suy ra ${0;1}$ là tập nghiệm của pt. :-*

 

[hthtb22]

Pic có vẻ ế
Câu 7:
$$\left\{\begin{matrix} x^{6}-y^{3}+x^{2}-9y ^{2}-30=28y& \\ \sqrt{2x +3}+x=y & \end{matrix}\right.$$
Gợi ý
Từ pt thứ nhất cho ta $(x^{2})^{3}+x^{2}=(y+3)^{3}+(y+3)$
Xét hàm đặc trưng $f(t)=t^{3}+t$ có
$f(t)'=3t^{2}+1> 0$$\Rightarrow f(t)$ đồng biến
Do đó $x^{2}=y+3$ Thế vào pt 2 ta được
$\sqrt{2x+3}+x+3=x^{2}$
$\Leftrightarrow (x-3)(\frac{2}{\sqrt{2x+3}+3})=(x-3)(x+2)$
$\Leftrightarrow x=3$
hoặc $(x+2)(\sqrt{2x+3}+3)=2$
Đặt $\sqrt{2x+3}=t$ giải pt bậc 3 là ok

 

[hthtb22]

Một số câu ở mức độ nhẹ hơn

Câu 8: Cho $x^2+y^2=1. $
Chứng minh rằng: $-6\leq \dfrac{2(x^2+6xy)}{x^2+2xy+3y^2}\leq 3.$

Câu 9: Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l} \left( {4{x^2} + 1} \right)x + \left( {y - 3} \right)\sqrt {5 - 2y} = 0 \\ 4{x^2} + {y^2} + 2\sqrt {3 - 4x} = 7 \\ \end{array} \right.$
(Khối A -2010)
Câu 10: Một bài toán kinh điển
$3^x+4^x=5^x$
Câu 11: cho hệ
$\left\{ \begin{array}{l} e^x-e^y=\ln(1+x)-\ln(1+y) \\ y-x=a \\ \end{array} \right.$
Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất
(Khối D-2006)

 

[trantien.hocmai]

$$\begin{cases} (4x^2+1)x+(y-3)\sqrt{5-2y}=0 \\ 4x^2+y^2+2\sqrt{3-4x}=7 \end{cases} \leftrightarrow 2x(4x^2+1)=(6-2y)\sqrt{5-2y} \\ 4x^2+y^2+2\sqrt{3-4x}=7 \end{cases} \\ $$
$\text{xét hàm số đặc trưng ta có} \\$
$$f(t)=t(t^2+1)=t^3+t \rightarrow f'(t)=3t^2+1 > 0 \text{ }t \in R \\$$
$\text{hàm số f(t) luôn đồng biến nên ta có} \\$
$$f(2x)=f(\sqrt{5-2y}) \leftrightarrow 2x=5-2y \\ $$
$\text{thế vào phương trình thứ 2 ta có} \\
(5-2y)^2+y^2+2\sqrt{3-2(5-2y)}=7$