Toaˊn 10\fbox{Toán 10} Bất đẳng thức

[transformers123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho $a, b,c,d > 0$, chứng minh:

$\dfrac{a-b}{a+2b+c}+\dfrac{b-c}{b+2c+d}+\dfrac{c-d}{c+2d+a}+\dfrac{d-a}{d+2a+b} \ge 0$

Bài 2: Cho $a, b, c$ là độ dài $3$ cạnh của một tam giác, chứng minh:

$\dfrac{a(b+c)}{a^2+bc}+\dfrac{b(c+a)}{b^2+ca}+ \dfrac{c(a+b)}{c^2+ab} \le 3$

Bài 3: Cho $a, b, c$ là độ dài $3$ cạnh của tam giác, chứng minh:

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+ \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \le \dfrac{5}{2}$

Bài 4: Cho $a, b, c > 0$ thỏa $abc=1$, chứng minh:

$\dfrac{1}{a^2-a+1}+\dfrac{1}{b^2-b+1}+\dfrac{1}{c^2-c+1} \le 3$

 

[leminhnghia1]

1,...

1,+ TH1: [TEX]a \not= \ b \not= \ c \not= \ d[/TEX]

[TEX]\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}[/TEX]

[TEX]=\frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+2b+c)}+\frac{(b-c)^2}{(b-c)(b+2c+d)}+\frac{(c-d)^2}{(c-d)(c+2d+a)}+\frac{(d-a)^2}{(d-a)(d+2a+b)}[/TEX]

[TEX]\geq \ \frac{(a-b+b-c+c-d+d-a)^2}{(a-b)(a+2b+c)+(b-c)(b+2c+d)+(c-d)(c+2d+a)+(d-a)(d+2a+b)}=0[/TEX] (Theo bđt Cô-si-Bu-nhi-a-xcop-ki)

Dấu '=' ko xảy ra.

+TH2: [TEX]a=b=c=d=0 \ \Leftrightarrow[/TEX] dấu '=' xảy ra.

 

[transformers123]

1, [TEX]\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}[/TEX]

[TEX]=\frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+2b+c)}+\frac{(b-c)^2}{(b-c)(b+2c+d)}+\frac{(c-d)^2}{(c-d)(c+2d+a)}+\frac{(d-a)^2}{(d-a)(d+2a+b)}[/TEX]

[TEX]\geq \ \frac{(a-b+b-c+c-d+d-a)^2}{(a-b)(a+2b+c)+(b-c)(b+2c+d)+(c-d)(c+2d+a)+(d-a)(d+2a+b)}=0[/TEX] (Theo bđt Cô-si-Bu-nhi-a-xcop-ki)

Mấy bài này không có đơn giản đến nỗi dùng Bunhia là ra đâu =))

Gỉa sử $a > d$ thì $\dfrac{(d-a)^2}{(d-a)(d+2a+b)}$ đâu có dương mà dùng Bunhia

Bài này ít nhất phải thêm bớt rồi may ra mới dùng Bunhia