[Even toán 6-7] Học tập vui- Nơi thi đấu

[braga]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Sau 1 thời gian , mod toán 6-7 đã quyết định và phân nhóm như sau:

Nhóm 1:

braga
ngobin3
tep1999
truonghandan0210
hocviencsnd

Nhóm 2:
harrypham
izamaek
hpthao_99
0903263006
nguyehuuhuy14112000

Nhóm 3:
soicon_boy_9x
luongduyhai123
ohmygod1999vn
taitutungtien
yubin_cute

Nhóm 4:

tanngoclai
nhoxsoi_kute
callalily
duchuy1999
0973573959thuy

Nhóm 5:
thaonguyenkmhd
minhngoc22041999
conbaodn
kieuhpuong232
I_love_u_forever

Nhóm 6:
mr_cross_fire
hanh99a
hoangoclan_99
phapsubro
vvtuankiet2000


Đã đến giờ, cuộc đấu chính thức dược bắt đầu

 

[braga]

Chú ý, ai tham gia đấu trường đều phải viết nhóm của mình vào chữ kí

Bắt đầu nha:
Nhóm 1 ra đề :

Bài 1: Số [TEX]2^{32}+1[/TEX] có là số nguyên tố không?

 

[harrypham]

Chú ý, ai tham gia đấu trường đều phải viết nhóm của mình vào chữ kí

Bắt đầu nha:
Nhóm 1 ra đề :

Bài 1: Số [TEX]2^{32}+1[/TEX] có là số nguyên tố không?

Lời giải bài 1: [Nhóm 2] Bằng cách sử dụng phép tính thông thường (bấm máy do con số không quá lớn), ta có
$$2^{32}+1=4294967297$$
Số này chia hết cho số nguyên tố $641$ (được thương là $6700417$).
Nên $2^{32}+1$ không là số nguyên tố.

Mở rộng. Bài này không thể mở rộng.

P/s: Xin hỏi ai là trọng tài ?
Hơn nữa theo nội quy là các đội phải ra theo đề chứ không phải ra theo bài mà ?



Ra từng bài 1:

 

[braga]

Bài 2: Chứng minh [TEX]2^{1995}-1 \vdots 31[/TEX]

Bài 3: Tổng [TEX]\frac{1}{50}+\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+......+[/TEX][TEX]\frac{1}{99}=\frac{a}{b}[/TEX] . Chứng minh [TEX]a \vdots 149[/TEX]

Bài 4: Tam giác $ABC$ cân có $\widehat{A}=100^o$, điểm $M$ nằm trong tam giác sao cho $\widehat{MBC}=30^o, \widehat{MCB}=20^o.$ Tính $\widehat{MAC}$

Bài 5: Cho [TEX]a^2-b^2=4c^2[/TEX]. Chứng minh:

[TEX](5a-3b+8c)(5a-3b-8c)=(3a-5b)^2[/TEX]
​

 

[harrypham]

Bài 5: Cho [TEX]a^2-b^2=4c^2[/TEX]. Chứng minh:

[TEX](5a-3b+8c)(5a-3b-8c)=(3a-5b)^2[/TEX]
​

Xơi tái bài này !!
Xin nhắc lại và chứng minh một số hằng đẳng thức (tất nhiên lớp 7 chưa học cái này nên mới cần đến giới thiệu và chứng minh)
$$\begin{array}{l} a^2-b^2=a^2-ab+ab-b^2=a(a-b)+b(a-b)=(a+b)(a-b) \\ (a-b)^2=a^2-ab-ab-b^2=a^2-2ab+b^2 \end{array}$$
Lời giải. Ta có $$\begin{aligned} (5a-3b+8c)(5a-3b-8c) & =(5a-3b)^2-(8c)^2 \\ & = \left[ (5a)^2-2 \cdot 5a \cdot 3b + (3b)^2 \right] - 64c^2 \\ & = (25a^2-30ab+9b^2)-16 \cdot (4c^2) \\ & = (25a^2-30ab+9b^2)- 16 (a^2-b^2) \\ & = 25a^2-30ab+9b^2-16a^2+16b^2 \\ & = 9a^2-30ab+25b^2 \\ & = (3a)^2- 2 \cdot 3a \cdot 5b+(5b)^2 \\ & = (3a-5b)^2 \qquad \square \end{aligned}$$

 

[thaonguyenkmhd]

Nhóm 5:

Bài 2: Chứng minh $2^{1995}-1 \vdots 31$

Ta có $2^{1995}-1=(2^5)^{399}-1=32^{399}-1$

Lại có $ 32 \equiv 1 \ ( mod \ 31 ) \rightarrow 32^{399} \equiv 1^{399} \ ( mod \ 31 ) \rightarrow 32^{399} \equiv 1 \ ( mod \ 31 ) \\ \rightarrow 32^{399}-1 \equiv 1-1 \ (mod \ 31 ) \\ \rightarrow 32^{399} -1 \equiv 0 \ ( mod \ 31 ) \\ \rightarrow 32^{399}-1 \ \vdots \ 31$

Vậy $2^{1995}-1 \vdots 31$

 

[soicon_boy_9x]

Nhóm 3:
Bài 2:
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{50}+\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{99}$

$\rightarrow \dfrac{a}{b}=(\dfrac{1}{50}+\dfrac{1}{99})+(\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{98})+...+(\dfrac{1}{74}+\dfrac{1}{75})$

$\rightarrow \dfrac{a}{b}=\dfrac{50+99}{50.99}+\dfrac{51+98}{51.98}+...+\dfrac{74+75}{74.75}$

$\rightarrow \dfrac{a}{b}=\dfrac{149}{50.99}+\dfrac{149}{51.98}+...+\dfrac{149}{74.75}$

Đặt mẫu chung của các số hạng trong dãy là 50.99.51.98.....74.75 và các thừa số phụ là $a_1,a_2,a_3,...,a_{25}$.Ta được

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{149(a_1+a_2+a_3+...+a_{25})}{50.99.51.98.....74.75}$

Ta nhận thấy 149 là số nguyên tố mà ở mẫu không có thừa số nào chia hết cho 149 nên ta có khi rút gọn thì a vẫn có dạng 149k với $k \in N*$

$\rightarrow a \vdots 149$

Vậy $a \vdots 149(dpcm)$

 

[braga]

Các bài kia đúng hết rồi , câu 4 nhé!!
Bài 4:

Vẽ điểm $K$ sao cho $BC$ là đường trung trực của $ MK$. với việc xét 2 tam giác bằng nhau $BMC$ và $BKC$ và $\widehat{A}=100^o$ dễ dàng ta tính được $\widehat{ABK}=70^o \ ; \ \widehat{ACK}=60^o $

Đặt $AB=AB=a$. Ta tính được $\widehat{BKC}=130^o \ \ \ \ \ \ (1)$

Nếu $AK>a$ thì:

- Xét $\Delta AKB$ có $\widehat{ABK}>\widehat{AKB}$ Tức là $70^o>\widehat{AKB}$

- Xét $\Delta AKC$ có $\widehat{ACK}>\widehat{AKC}$ tức là $60>\widehat{AKC}$

$\Rightarrow 130^o>\widehat{BKC}$, trái với $(1)$

Tương tự Nếu $AK<a$ thì $130^o<\widehat{BKC}$, trái với $(1)$

Vậy $AK=a$. Do đó $\Delta ACK$ đều. Từ đó $MC=KC=AC$. Tam giác $ACM$ cân tại $C, \ \widehat{ACM}=20^o$ nên $\widehat{MAC}=80^o$

 

[harrypham]

Nhóm 2 ra đề​

$\fbox{1}.$ (Dành riêng cho lớp 6) Xét tổng gồm $2008$ số hạng $$S= \dfrac{5}{1.2.3}+ \dfrac{8}{2.3.4}+ \dfrac{11}{3.4.5}+ \cdots + \dfrac{6026}{2008.2009.2010}$$.
So sánh $S$ với $2$.

$\fbox{2}.$ Cho số nguyên dương $n$ sao cho $2^n$ và $5^n$ có chữ số đầu tiên giống nhau. Chứng tỏ rằng số tạo bởi hai số $2^n$ và $5^n$ viết liền nhau có $n+1$ chữ số, trong đó có ít nhất hai chữ số $3$.

$\fbox{3}.$ Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}=50^o, \; \widehat{ABC}=72^o$. Vẽ về phía ngoài tam giác $ABC$ tam giác $BDC$ sao cho $\widehat{CBD}=28^o, \; \widehat{BCD}=22^o$. Tính $\widehat{ADB}$.

$\fbox{4}.$ Tìm một nghiệm của đa thức $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$. Biết rằng đa thức có nghiệm và $a+2b+4c= - \dfrac{1}{2}.$

$\fbox{5}.$ Cho tam giác $ABC$ có đường trung tuyến $AM, \; AB=2 \; \text{cm}, \; AC= 4 \; \text{cm}$, và $AM= \sqrt{3} \; \text{cm}$. Hãy tính số đo góc $\widehat{BAC}$, độ dài cạnh $BC$ và diện tích tam giác $ABC$.

$\fbox{6}.$Hỏi có bao nhiêu số nguyên $n$ sao cho $-1964 \le n \le 2011$ và phân số $\dfrac{n^2+2}{n+9}$ chưa tối giản ?

 

[conbaodn]

Giả sử trong hệ thập phân số $2^n$ và $5^n$ có h chữ số và chữ số đầu tiên bên trái của 2 số đó đều là $a(k \ge \ 1 , h \ge \ 2, n \ge \ 2)$. Vì $2^n$ và $5^n$ đều không chia hết cho 2 nên ta có:

$a.10^{k-1}<2^n<(a+1).10^{k-1};

a.10^{h-1}<5^n<(a+1).10^{h-1}$.

Từ đó $a^2.10^{k+h-2}<10^n<(a+1)^2.10^{k+h-2}$(*)

Vì $1\le \ a\le 10$ nên từ (*) có $10^{k+h-2}<10^n<10^{k+h}.$
Suy ra $n=k+h-1$ hay $h+k=n+1$, do đó số tạo bở 2 số $2^n$ và $5^n$ viết liền nhau có $n+1$ chữ số. Thay $h+k=n+1$ vào(*) ta thu được $a^2<10<(a+1)^2$. Từ đó có thể xảy ra $a$=3. Chẳng hạn với $n=5$ thì $2^5=32$ và $5^5=3125$. Như vậy viết $2$ số $2^n$ và $5^n$(Trích TBTHTT)

 

[conbaodn]

$\frac{n^2+2}{n+9}
=\frac{n^2-81+83}{n+9}
=n-9\frac{83}{n+9}$
Phân số $\frac{n^2+2}{n+9}$ chưa tối giản khi và chỉ khi $\frac{83}{n+9}$ chưa tối giản, nghĩa là ƯCLN{$83,n+9$} $\not= \ 1$, mà 83 là số nguyên tố nên điều đó xảy ra khi n+9 chia hết cho $83$, trừ giá trị $n=-9$

Đặt $n+9=83k$ với $k \not= \ 0, k \in \ \mathbb{Z}$

Theo giả thiết $-1964 \le \ 83k-9 \ge \ 2011$
hay là $-1955 \le \ 83h \ge \ 2020$
\Rightarrow $-23 \le\ k \le \ 24$
Do $k \not= \ 0$ nên k [TEX]\in \[/TEX] {-23-22-21,...-2,-1} [TEX]\bigcup \[/TEX] {1,2,3,...,24}
hay k có $47$ giá trị, như vậy $n=83k-9$ tương ứng lấy $47$ giá trị.(Trích TBTHTT)
P/S:Theo conbaodn thấy thì vẫn còn 1 số bài có ở TBTHTT

@harrypham: Đây là cuộc thi nên ta nên thi một cách nghiêm túc nhất, mong conbaodn đừng search trên THTT rồi cứ copy paste vào đây, tự suy nghĩ là chính.

 

[braga]

Bài 4: Với $x=\dfrac{1}{2}$ thì:

$\Rightarrow f\left ( \dfrac{1}{2} \right )=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{2}b+c$

$ f\left ( \dfrac{1}{2} \right )=\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{4}(a+2b + 4c)=\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{4}.\left ( -\dfrac{1}{2} \right )=0$

Vậy $\dfrac{1}{2}$ là 1 nghiệm của $f(x)$

 

[braga]

$\fbox{6}.$Hỏi có bao nhiêu số nguyên $n$ sao cho $-1964 \le n \le 2011$ và phân số $\dfrac{n^2+2}{n+9}$ chưa tối giản ?

$\dfrac{n^2+2}{n+9}=\dfrac{(n+9)(n-9)+83}{n+9}=n-9+\dfrac{83}{n+9}$

$83$ là số nguyên tố $\Rightarrow (n+9)\vdots 83$

$\Rightarrow n+9\in \left \{ \pm 1909;\pm 1826;\pm 1743;\pm 1660;\pm 1577;\pm 1490;\pm 1411;\pm 1328;\pm 1245;\pm 1162;\pm 1079;\pm 996;\pm 913;\pm 830;\pm 747;\pm 664;\pm 581;\pm 498;\pm 415;\pm 332;\pm 249;\pm 166;\pm 83 ;1992\right \}$

$\Rightarrow n$ có 47 giá trị

 

[braga]

Nhóm 2 ra đề​

$\fbox{1}.$ (Dành riêng cho lớp 6) Xét tổng gồm $2008$ số hạng $$S= \dfrac{5}{1.2.3}+ \dfrac{8}{2.3.4}+ \dfrac{11}{3.4.5}+ \cdots + \dfrac{6026}{2008.2009.2010}$$.
So sánh $S$ với $2$.

Bài 1: Ta có, số hạng tổng quát của dãy là:

$\dfrac{3n+2}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{2(n+1)+n}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{2(n+1)}{n(n+1)(n+2)}+\dfrac{n}{n(n+1)(n+2)}$

$=\dfrac{2}{n(n+2)}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{2}{n+2}$

$\Rightarrow S=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{5}+...............+\dfrac{1}{2008}$ $+\dfrac{1}{2009}-\dfrac{2}{2010}$

$S=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2009}-\dfrac{2}{2010}=2-\dfrac{1}{2009}-\dfrac{2}{2010}<2$

Vậy $S<2$

 

[7vienngoc]

các bạn ơi minh vào nhóm nào với
hu hu hu hu...!
(^,^)($,$)