- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Cái tên là do mình tự gọi, không rõ nó có chuẩn không. Các bài toán này mình vô tình gặp nên chia sẻ cách làm lên đây.
1. Tìm giá trị của tham số m sao cho GTLN của hàm số: [tex]y=\frac{x+m}{x^2+x+1}[/tex] trên R luôn nhỏ hơn hoặc bằng 1.
Dạng toán là như vậy. Tìm điều kiện của m sao cho max(hoặc min) luôn lớn hơn ( nhỏ hơn) 1 giá trị nào đó.
Thoạt đầu, theo suy nghĩ rất thông thường, ta sẽ đạo hàm, rồi từ đó tìm ra max theo m. Cuối cùng giải bất phương trình [TEX]max \leq 1[/TEX] để tìm điều kiện của m. Tuy nhiên ta sẽ sớm nhận thấy vấn đề là: đạo hàm nghiệm rất lẻ. Và thậm chí thay vào ban đầu nó còn lẻ nữa:
[tex]y'=-\frac{2mx+x^2+m-1}{(x^2+x+1)^2}[/tex]
Nghiệm căn rất xấu. Như vậy bài này không thể giải theo cách này được. Vậy suy nghĩ một chút, ta nhận ra điều kiện đầu đề cho tương đương với: [tex]\frac{x+m}{x^2+x+1}\leq 1[/tex] với mọi x thuộc R.
Rõ ràng khi BPT trên luôn đúng thì tất cả các giá trị của y, trong đó có giá trị max, đều không vượt quá 1. Hoàn toàn thỏa mãn bài toán.
Giải bpt này thì quá dễ rồi. Mẫu dương nên nhân chéo:
[tex]x^2+x+1\geq x+m<=>x^2+1\geq m[/tex]
Do [TEX]x^2+1 \geq 1[/TEX] với mọi x. Nên điều kiện của m thỏa mãn là: [tex]m\leq 1[/tex]. Quá nhanh gọn.
2. Cho hàm số: [tex]y=\frac{1-msinx}{cosx+2}[/tex] . Hỏi có bao nhiêu giá trị của m thuộc đoạn [0;10] thỏa mãn GTNN của y nhỏ hơn -2.
Lời giải: Tiếp tục là 1 bài đạo hàm chắc chắn là rất lẻ. Vậy ta lại nghĩ ngay tới ép khoảng.
GTNN của y nhỏ hơn -2, có phải là bất phương trình: [tex]\frac{1-msinx}{cosx+2}<-2[/tex] phải có nghiệm đúng không?
Vậy bài toán chuyển thành: Tìm m để bất phương trình [TEX]\frac{1-msinx}{cosx+2}<-2[/TEX] có nghiệm.
Vậy ta nhận ra dạng toán này thực ra không quá khó, chỉ là họ chuyển lời văn khác đi.
[tex]\frac{1-msinx}{cosx+2}<-2<=>1-msinx<-2cosx-4<=>2cosx-msinx<-5[/tex] (1)
Mà theo BĐT Bunhia-Copxki ( BĐT rất hay sử dụng khi tìm min max với hàm có đồng thời sinx,cosx), ta có:
[tex](2cosx-msinx)^2\leq (sin^2x+cos^2x)(m^2+4)=m^2+4[/tex]
<=>[tex]-\sqrt{m^2+4}<2cosx+msinx<\sqrt{m^2+4}[/tex] (2)
Từ (1) và (2) ta thấy. (1) có nghiệm khi : [tex]-\sqrt{m^2+4}<-5<=>\sqrt{m^2+4}>5<=>m^2>21<=>m>4,...[/tex]
=> m=5,6...10 . Có 6 giá trị của m thỏa mãn
Tương tự các bạn có thể giải bài toán sau:
Tìm m để giá trị nhỏ nhất của [tex]y=\frac{msinx+1}{cosx+2}[/tex] nhỏ hơn 1.
Đáp án: m khác 0
1. Tìm giá trị của tham số m sao cho GTLN của hàm số: [tex]y=\frac{x+m}{x^2+x+1}[/tex] trên R luôn nhỏ hơn hoặc bằng 1.
Dạng toán là như vậy. Tìm điều kiện của m sao cho max(hoặc min) luôn lớn hơn ( nhỏ hơn) 1 giá trị nào đó.
Thoạt đầu, theo suy nghĩ rất thông thường, ta sẽ đạo hàm, rồi từ đó tìm ra max theo m. Cuối cùng giải bất phương trình [TEX]max \leq 1[/TEX] để tìm điều kiện của m. Tuy nhiên ta sẽ sớm nhận thấy vấn đề là: đạo hàm nghiệm rất lẻ. Và thậm chí thay vào ban đầu nó còn lẻ nữa:
[tex]y'=-\frac{2mx+x^2+m-1}{(x^2+x+1)^2}[/tex]
Nghiệm căn rất xấu. Như vậy bài này không thể giải theo cách này được. Vậy suy nghĩ một chút, ta nhận ra điều kiện đầu đề cho tương đương với: [tex]\frac{x+m}{x^2+x+1}\leq 1[/tex] với mọi x thuộc R.
Rõ ràng khi BPT trên luôn đúng thì tất cả các giá trị của y, trong đó có giá trị max, đều không vượt quá 1. Hoàn toàn thỏa mãn bài toán.
Giải bpt này thì quá dễ rồi. Mẫu dương nên nhân chéo:
[tex]x^2+x+1\geq x+m<=>x^2+1\geq m[/tex]
Do [TEX]x^2+1 \geq 1[/TEX] với mọi x. Nên điều kiện của m thỏa mãn là: [tex]m\leq 1[/tex]. Quá nhanh gọn.
2. Cho hàm số: [tex]y=\frac{1-msinx}{cosx+2}[/tex] . Hỏi có bao nhiêu giá trị của m thuộc đoạn [0;10] thỏa mãn GTNN của y nhỏ hơn -2.
Lời giải: Tiếp tục là 1 bài đạo hàm chắc chắn là rất lẻ. Vậy ta lại nghĩ ngay tới ép khoảng.
GTNN của y nhỏ hơn -2, có phải là bất phương trình: [tex]\frac{1-msinx}{cosx+2}<-2[/tex] phải có nghiệm đúng không?
Vậy bài toán chuyển thành: Tìm m để bất phương trình [TEX]\frac{1-msinx}{cosx+2}<-2[/TEX] có nghiệm.
Vậy ta nhận ra dạng toán này thực ra không quá khó, chỉ là họ chuyển lời văn khác đi.
[tex]\frac{1-msinx}{cosx+2}<-2<=>1-msinx<-2cosx-4<=>2cosx-msinx<-5[/tex] (1)
Mà theo BĐT Bunhia-Copxki ( BĐT rất hay sử dụng khi tìm min max với hàm có đồng thời sinx,cosx), ta có:
[tex](2cosx-msinx)^2\leq (sin^2x+cos^2x)(m^2+4)=m^2+4[/tex]
<=>[tex]-\sqrt{m^2+4}<2cosx+msinx<\sqrt{m^2+4}[/tex] (2)
Từ (1) và (2) ta thấy. (1) có nghiệm khi : [tex]-\sqrt{m^2+4}<-5<=>\sqrt{m^2+4}>5<=>m^2>21<=>m>4,...[/tex]
=> m=5,6...10 . Có 6 giá trị của m thỏa mãn
Tương tự các bạn có thể giải bài toán sau:
Tìm m để giá trị nhỏ nhất của [tex]y=\frac{msinx+1}{cosx+2}[/tex] nhỏ hơn 1.
Đáp án: m khác 0