Đường trung bình của hình thang

[thinhso01]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho tứ giác ABCD có 2 cạnh đối diện AD=BC. Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AB,AC,CD,DB.Chứng minh rằng MP là đường trung trực của NQ.
2)Tính độ dài đường trung bình của một hình thang cân,biết rằng hai đường chéo của nó vuông góc với nhau và đường cao của nó bằng 10cm
3)Cho hình thang ABCD(AB//CD).Các tia phân giác của góc A và D cắt nhau ở I,của góc B và C cắt nhau ở J.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC.Chứng minh 4 điểm M,N,I,J thằng hàng.
4)Trên đoạn thằng AB lấy điểm C(CA>CB).Trên cùng một nữa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác đề ACD và BCE.Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AE,CE,BD,CE.
a)Tứ giác MNPQ là hình gì?
b)Chứng minh rằng MP=1/2DE
5)Cho tứ giác ABCD.Gọi M là trung điểm AD,N là trung điểm BC,I là trung điểm BD
Chứng minh rằng MN nhỏ hơn hoặc bằng nửa tổng 2 cạnh đáy(HÌnh như là M,N,I không thằng hàng nha)
6)CHo hình thang cân ABCD(AD//CD),DC là đáy lớn.AH là đường cao(H thuộc DC) và HC=5cm.Tính độ dài đường trung bình của hình thang ABCD

 

[thaonguyenkmhd]

Bài 1:

Xét $\large\Delta$ ABD có M là trung điểm AB, Q là trung điểm BD \Rightarrow MQ là đường trung bình của $\large\Delta$ ABD \Rightarrow $MQ=\dfrac{AD}{2}$

Tương tự có $MN=\dfrac{BC}{2}; NP=\dfrac{AD}{2}; PQ=\dfrac{BC}{2}$

Mà AD=BC \Rightarrow MN=NP=PQ=QM \Rightarrow tứ giác MNPQ là hình thoi

\Rightarrow $MP \bot NQ$ và MP cắt NQ cắt nha tại trung điểm mỗi đường \Rightarrow MP cắt NQ tại trung điểm của NQ

\Rightarrow MP là đường trung trực của NQ.


Bài 2:

Kể $AH \bot CD$ và AM // BD.

Do AB // MD, AM // BD \Rightarrow AB=MD và AM=BD ( tính chất đoạn chắn )

Ta có AC=BD ( hình thang ABD cân ) , AM = BD \Rightarrow AM=AC

\Rightarrow $\large\Delta$ ACM cân tại A \Rightarrow đường cao AH đồng thời là trung tuyến.

Do AM // BD, $AC \bot BD \rightarrow AM \bot AC \rightarrow \large\Delta$ ACM vuông tại A.

Xét $\large\Delta$ ACM vuông tại A có AH là trung tuyến thuộc cạnh huyền MC

\Rightarrow CM=2AH.

Ta có CM=CD+MD=AB+CD \Rightarrow AB+CD=2AH=2.10=20cm

\Rightarrow đường trung bình của hình thang ABCD ( AB // CD ) dài 10cm.

 

[thinhso01]

Bài 3 mình sử lí oài còn mấy bài còn lại nhờ mấy anh chị giúp giùm

 

[thaonguyenkmhd]

Bài 3:

Do AI, DI lần lượt là phân giác $\widehat{BAD}; \widehat{ADC} \rightarrow \widehat{IAD}=\dfrac{\widehat{BAD}}{2} \ và \ \widehat{IDA}=\dfrac{\widehat{ADC}}{2}$

Ta có $\widehat{AID}=180^o-(\widehat{IAD}+\widehat{IDA})=180^o-\dfrac{\widehat{BAD}+\widehat{ADC}}{2}=180^o-\dfrac{180^o}{2}=90^o$

Xét $\large\Delta$ AID vuông tại I có IM là trung tuyến thuộc cạnh huyền AD \Rightarrow MA=MI

\Rightarrow $\large\Delta$ AMI cân tại M \Rightarrow $\widehat{MAI}=\widehat{MIA}$

Do $\widehat{MAI}=\widehat{BAI} \rightarrow \widehat{BAI}=\widehat{MIA}$

Mà 2 góc ở vị trí so le trong \Rightarrow MI // AB (1)

Tương tự có NJ // AB (2)

Lại có MN // AB (3) ( MN là đường trung bình của hình thang ABCD )

Từ (1); (2) và (3) \Rightarrow M, N, I, J thẳng hàng.

 

[thaonguyenkmhd]

Bài 4:

* Chứng minh đoạn thẳng nối trung điểm 2 đường chéo của hình thang bằng nửa tổng 2 cạnh đáy.

Xét hình thang ABCD ( AB // CD ).

Gọi M, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BD, AC.

Xét $\large\Delta$ ACD có M là trung điểm AD, Q là trung điểm AC \Rightarrow MQ là đường trung bình của $\large\Delta$ ACD

\Rightarrow MQ // CD và $ MQ=\dfrac{CD}{2}$

Tương tự có MP // AB và $MP=\dfrac{AB}{2}$

Từ (1); (2) và do AB // CD \Rightarrow M, P, Q thẳng hàng

\Rightarrow $PQ=MQ-MP=\dfrac{CD}{2}-\dfrac{AB}{2}=\dfrac{CD-AB}{2}$

Vậy ta có đpcm.​

* Chứng minh bài toán

a/ Xét $\large\Delta$ BCD có Q là trung điểm CD, P là trung điểm BD \Rightarrow PQ là đường trung bình của $\large\Delta$ BCD

\Rightarrow PQ // BC hay PQ // AB (1)

Tương tự có MN // AB (2)

Từ (1) và (2) \Rightarrow MN // PQ \Rightarrow tứ giác MNPQ là hình thang.

b/ Kẻ PI // MQ ( $ I \in MN$ )

Xét hình thang ACED có Q là trung điểm CD, M là trung điểm AE \Rightarrow $MQ=\dfrac{AD-CE}{2} $ (3)

Tương tự có $NP=\dfrac{CD-EB}{2}$ (4)

Từ (3); (4) và do AD=CD, CE=EB \Rightarrow MQ=NP

Do PQ // MI, MQ // PI \Rightarrow MQ=PI ( tính chất đoạn chắn )

\Rightarrow NP=PI \Rightarrow $\large\Delta$ NPI cân tại P \Rightarrow $\widehat{PIN} =\widehat{PNM} $ mà $\widehat{PIN} =\widehat{QMN} $ ( 2 góc đồng vị do PI // MQ )

\Rightarrow $\widehat{QMN} =\widehat{PNM} $\Rightarrow hình thang MNPQ cân

\Rightarrow MP = NQ

Xét $\large\Delta$ DCE có N là trung điểm CE, Q là trung điểm CD \Rightarrow NQ là đường trung bình của $\large\Delta$ CDE

\Rightarrow $NQ=\dfrac{DE}{2}$

Mà MP = NQ \Rightarrow $MP=\dfrac{DE}{2}$

 

[thaonguyenkmhd]

Bài 5:

Xét $\large\Delta$ ABD có M là trung điểm AD, I là trung điểm BD \Rightarrow MI là đường trung bình của $\large\Delta$ ABD

\Rightarrow MI // AB và $MI=\dfrac{AB}{2}$ (1)

Tương tự có NI // CD và $NI=\dfrac{CD}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) \Rightarrow $MI + NI =\dfrac{AB+CD}{2}$

Xét 3 điểm M, N, I có MN \leq MI+NI \Rightarrow MN \leq $\dfrac{AB+CD}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $MN=MI+NI \leftrightarrow I \in MN \leftrightarrow \left \{ \begin{array} MMN // AB \\ MN // CD \end{array} \right. \leftrightarrow AB // CD$

\Rightarrow tứ giác ABCD là hình thang.

 

[kiev]

tóan 8

Bài 3:



Do AI, DI lần lượt là phân giác BADˆ;ADCˆ→IADˆ=BADˆ2 và IDAˆ=ADCˆ2

Ta có AIDˆ=180−(IADˆ+IDAˆ)=180−BADˆ+ADCˆ2=180−180/2=90 độ

Xét Δ AID vuông tại I có IM là trung tuyến thuộc cạnh huyền AD MA=MI

Δ AMI cân tại M MAIˆ=MIAˆ

Do MAIˆ=BAIˆ→BAIˆ=MIAˆ

Mà 2 góc ở vị trí so le trong MI // AB (1)

Tương tự có NJ // AB (2)

Lại có MN // AB (3) ( MN là đường trung bình của hình thang ABCD )

Từ (1); (2) và (3) M, N, I, J thẳng hàng.

Bài 4

Xét hình thang ABCD ( AB // CD ).

Gọi M, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BD, AC.

Xét Δ ACD có M là trung điểm AD, Q là trung điểm AC MQ là đường trung bình của Δ ACD

MQ // CD và MQ=CD/2

Tương tự có MP // AB và MP=AB/2

Từ (1); (2) và do AB // CD M, P, Q thẳng hàng

PQ=MQ−MP=CD/2−AB/2=CD−AB/2
Vậy ta có đpcm.

Bài 5

Xét Δ ABD có M là trung điểm AD, I là trung điểm BD MI là đường trung bình của Δ ABD

MI // AB và MI=AB2 (1)

Tương tự có NI // CD và NI=CD2 (2)

Từ (1) và (2) MI+NI=AB+CD2

Xét 3 điểm M, N, I có MN MI+NI MN AB+CD2

Dấu bằng xảy ra khi MN=MI+NI↔I∈MN↔{MN//AB và MN//CD↔AB//CD

tứ giác ABCD là hình thang.

_Bài 1

_Xét Δ ABD có M là trung điểm AB, Q là trung điểm BD MQ là đường trung bình của Δ ABD MQ=AD/2

Tương tự có MN=BC/2;NP=AD/2;PQ=BC/2

Mà AD=BC MN=NP=PQ=QM tứ giác MNPQ là hình thoi

MP⊥NQ và MP cắt NQ cắt nha tại trung điểm mỗi đường MP cắt NQ tại trung điểm của NQ

MP là đường trung trực của NQ.

Bài 2

Kể AH⊥CD và AM // BD.

Do AB // MD, AM // BD AB=MD và AM=BD ( tính chất đoạn chắn )

Ta có AC=BD ( hình thang ABD cân ) , AM = BD AM=AC

Δ ACM cân tại A đường cao AH đồng thời là trung tuyến.

Do AM // BD, AC⊥BD→AM⊥AC→Δ ACM vuông tại A.

Xét Δ ACM vuông tại A có AH là trung tuyến thuộc cạnh huyền MC

CM=2AH.

Ta có CM=CD+MD=AB+CD AB+CD=2AH=2.10=20cm

đường trung bình của hình thang ABCD ( AB // CD ) dài 10cm

Bài 6

Kẻ AE vuông góc DC;BF vuông góc DC
Xét tam giác AED và tam giác BFC,có:
AD=BC
góc B=góc C
góc AED=góc BFC(=90 độ)
Tam giác AED=tam giác BFC(ch-gn)
suy ra ED=FC
Đặt ED=FC=x
Ta có hình chữ nhật ABEF
suy ra AB=EF
mà AB=5-x;DC=5+x suy ra AB+DC=5-x+5+x=10
Mà đường trung bình của hình thang cân ABCD bằng (AB+DC):2=10:2=5(cm)
__________________



____________

 

[depvazoi]

Bài 6 đâu rồi, sao không ai làm bài 6 vậy???????????

 

[thinhso01]

Bài 6

Kẻ AE vuông góc DC;BF vuông góc DC
Xét tam giác AED và tam giác BFC,có:
AD=BC
góc B=góc C
góc AED=góc BFC(=90 độ)
\Rightarrow Tam giác AED=tam giác BFC(ch-gn)
\Rightarrow ED=FC
Đặt ED=FC=x
Ta có hình chữ nhật ABEF
\Rightarrow AB=EF
\Rightarrow AB=5-x;DC=5+x\Rightarrow AB+DC=5-x+5+x=10
Mà đường trung bình của hình thang cân ABCD bằng (AB+DC):2=10:2=5(cm)

 

[thinhso01]

Bài 4:

* Chứng minh đoạn thẳng nối trung điểm 2 đường chéo của hình thang bằng nửa tổng 2 cạnh đáy.

Xét hình thang ABCD ( AB // CD ).

Gọi M, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BD, AC.

Xét $\large\Delta$ ACD có M là trung điểm AD, Q là trung điểm AC \Rightarrow MQ là đường trung bình của $\large\Delta$ ACD

\Rightarrow MQ // CD và $ MQ=\dfrac{CD}{2}$

Tương tự có MP // AB và $MP=\dfrac{AB}{2}$

Từ (1); (2) và do AB // CD \Rightarrow M, P, Q thẳng hàng

\Rightarrow $PQ=MQ-MP=\dfrac{CD}{2}-\dfrac{AB}{2}=\dfrac{CD-AB}{2}$

Vậy ta có đpcm.​

* Chứng minh bài toán

a/ Xét $\large\Delta$ BCD có Q là trung điểm CD, P là trung điểm BD \Rightarrow PQ là đường trung bình của $\large\Delta$ BCD

\Rightarrow PQ // BC hay PQ // AB (1)

Tương tự có MN // AB (2)

Từ (1) và (2) \Rightarrow MN // PQ \Rightarrow tứ giác MNPQ là hình thang.

b/ Kẻ PI // MQ ( $ I \in MN$ )

Xét hình thang ACED có Q là trung điểm CD, M là trung điểm AE \Rightarrow $MQ=\dfrac{AD-CE}{2} $ (3)

Tương tự có $NP=\dfrac{CD-EB}{2}$ (4)

Từ (3); (4) và do AD=CD, CE=EB \Rightarrow MQ=NP

Do PQ // MI, MQ // PI \Rightarrow MQ=PI ( tính chất đoạn chắn )

\Rightarrow NP=PI \Rightarrow $\large\Delta$ NPI cân tại P \Rightarrow $\widehat{PIN} =\widehat{PNM} $ mà $\widehat{PIN} =\widehat{QMN} $ ( 2 góc đồng vị do PI // MQ )

\Rightarrow $\widehat{QMN} =\widehat{PNM} $\Rightarrow hình thang MNPQ cân

\Rightarrow MP = NQ

Xét $\large\Delta$ DCE có N là trung điểm CE, Q là trung điểm CD \Rightarrow NQ là đường trung bình của $\large\Delta$ CDE

\Rightarrow $NQ=\dfrac{DE}{2}$

Mà MP = NQ \Rightarrow $MP=\dfrac{DE}{2}$

Bạn ơi hơi có trục trặc nhỏ là Q là trung điểm CE hôm nay mình đi học và check lại mới biết >-

 

[dragon_promise]

Bài 1:

Xét $\large\Delta$ ABD có M là trung điểm AB, Q là trung điểm BD \Rightarrow MQ là đường trung bình của $\large\Delta$ ABD \Rightarrow $MQ=\dfrac{AD}{2}$

Tương tự có $MN=\dfrac{BC}{2}; NP=\dfrac{AD}{2}; PQ=\dfrac{BC}{2}$

Mà AD=BC \Rightarrow MN=NP=PQ=QM \Rightarrow tứ giác MNPQ là hình thoi

\Rightarrow $MP \bot NQ$ và MP cắt NQ cắt nha tại trung điểm mỗi đường \Rightarrow MP cắt NQ tại trung điểm của NQ

\Rightarrow MP là đường trung trực của NQ.


Bài 2:

Kể $AH \bot CD$ và AM // BD.

Do AB // MD, AM // BD \Rightarrow AB=MD và AM=BD ( tính chất đoạn chắn )

Ta có AC=BD ( hình thang ABD cân ) , AM = BD \Rightarrow AM=AC

\Rightarrow $\large\Delta$ ACM cân tại A \Rightarrow đường cao AH đồng thời là trung tuyến.

Do AM // BD, $AC \bot BD \rightarrow AM \bot AC \rightarrow \large\Delta$ ACM vuông tại A.

Xét $\large\Delta$ ACM vuông tại A có AH là trung tuyến thuộc cạnh huyền MC

\Rightarrow CM=2AH.

Ta có CM=CD+MD=AB+CD \Rightarrow AB+CD=2AH=2.10=20cm

\Rightarrow đường trung bình của hình thang ABCD ( AB // CD ) dài 10cm.

Bạn làm hay quá thanks !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
>->->->->->->->->->->->-