1. [tex]\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o[/tex] nên ABOC nội tiếp
2. Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thì OA là trung trực BC nên BE vuông với OA.
Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông ta có: [tex]OE.OA=OB^2=R^2[/tex]
3. Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: [tex]BP=PK,CQ=QK \Rightarrow AP+PQ+QA=AP+QK+PK+QA=AP+CQ+BP+AQ=AB+AC[/tex](không đổi)
4. Ta có: [tex]\widehat{MOQ}=180^o-\widehat{QOC}-\widehat{CON}=180^o-\widehat{QOK}-\widehat{MOB}=180^o-(\widehat{MOQ}-2\widehat{POK}) \Rightarrow 2\widehat{MOQ}=180^o+2\widehat{POK} \Rightarrow \widehat{MOQ}=90^o+\widehat{POK} \Rightarrow \widehat{MOP}+\widehat{QOK}=90^o \Rightarrow \widehat{MOP}=\widehat{KQO}=\widehat{OQN} \Rightarrow \Delta MOP \sim \Delta NQO \Rightarrow MP.NQ=MO.NO \Rightarrow MP+NQ \geq 2\sqrt{MP.NQ}=\sqrt{2MO.2NO}=\sqrt{MN^2}=MN[/tex]