Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC. Lấy H thuộc BC, qua H kẻ tia Hx vuông góc với BC, Hx cắt (O) tại A. Vẽ 2 đường tròn [tex](I;\frac{BH}{2})[/tex] và [tex](I; \frac{HC}{2})[/tex] , (I) cắt AB tại E, (J) cắt AC tại F
a, Chứng minh EF=AH
b, Chứng minh EF là tiếp tuyến của (J) tại F
c, Tìm vị trí của H trên BC sao cho tứ giác AEHF có diện tích lớn nhất
a)Ta có[tex]\left.\begin{matrix} \widehat{HFC}=90^{o}\\ \widehat{HEB}=90^{o}\\ \widehat{BAC}=90^{o} \end{matrix}\right\}[/tex](góc chắn nửa đường tròn)
Do đó AEHF là hình chữ nhật
Suy ra AH=EF; [tex]\widehat{EFH}=\widehat{AHF}[/tex]
b)Ta có [tex]\widehat{AHF}=\widehat{ACH}[/tex](cùng phụ với [tex]\widehat{HAC}[/tex]
Mặt khác vì JC=JF=[tex]\frac{HC}{2}[/tex]
Suy ra tam giác JCF là tam giác cân [tex]\Rightarrow \widehat{JCF}=\widehat{JFC}=\widehat{AHF}[/tex]
Ta có [tex]\widehat{EFJ}=\widehat{EFH}+\widehat{HFJ}=\widehat{AHF}+\widehat{HFJ}=\widehat{JFC}+\widehat{HFJ}=\widehat{HFC}=90^{o}[/tex]
Vậy EF là tiếp tuyến của (J) tại F
c)Ta c/m bđt: Với mọi a,b thì [tex]ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}[/tex](1)
Thật vậy [tex](1)\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-2ab\geq 0[/tex]
[tex]\Rightarrow (a-b)^{2}\geq 0[/tex] (luôn đúng)
Dấu = xảy ra khi a=b
BĐT được c/m
Ta có [tex]S_{AEHF}=AF.HF\leq \frac{AF^{2}+HF^{2}}{2}=\frac{AH^{2}}{2}\leq \frac{AO^{2}}{2}=\frac{R^{2}}{2}[/tex]
Dấu = xảy ra khi [tex]\left\{\begin{matrix} H\equiv O\\ AF=HF \end{matrix}\right.\Leftrightarrow H\equiv O[/tex]
Vậy H trùng O thì tứ giác AEHF có diện tích lớn nhất
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
