Toán 9 Chứng minh $AB$ luôn đi qua một điểm cố định

[TrangTrần264]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ( O;R) . đường thẳng d giao (O) tại C và D .M di động trên d sao cho MC< MD và ở ngoài (O). Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB. Gọi H là trung điểm của CD và giao của AB với MO,OH lần lượt là E và F. Chứng minh
a, OM*OE=R^2
b,MEHF nội tiếp
c, AB luôn đi qua điểm cố định

 

[Trần Tuyết Khả]

Cho ( O;R) . đường thẳng d giao (O) tại C và D .M di động trên d sao cho MC< MD và ở ngoài (O). Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB. Gọi H là trung điểm của CD và giao của AB với MO,OH lần lượt là E và F. Chứng Minh a, OM*OE=R^2 b,MEHF nội tiếp c, AB luôn đi qua điểm cố định

a, Vì MB là tt của (O) => MB vuông góc với OB
Có: MA và MB là 2 tt của (O) cắt nhau tại M
=> MO vuông góc với AB
Áp dụng hệ thức $b^2$= a.b' vào [tex]\Delta OMB[/tex] vuông tại B đường cao BE có:
$BO^2$= OE. EM
=> OE. EM= $R^2$
b, Xét (O) có: H là trung điểm CD
=> OH vuông góc với CD tại H
=> [tex]\widehat{MHO}=90°[/tex]
Có: [tex]\widehat{OFE}= 90°- MOF[/tex]
[tex]\widehat{OMH}= 90°- MOF[/tex]
=> [tex]\widehat{OFE}= \widehat{OMH}[/tex]
Xét tứ giác MEHF có: 2 đỉnh M và F kề nhau cùng nhìn cạnh EH dưới 1 góc không đổi
=> Tứ giác MEHF nt

 

[Ann Lee]

Cho ( O;R) . đường thẳng d giao (O) tại C và D .M di động trên d sao cho MC< MD và ở ngoài (O). Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB. Gọi H là trung điểm của CD và giao của AB với MO,OH lần lượt là E và F. Chứng minh
a, OM*OE=R^2
b,MEHF nội tiếp
c, AB luôn đi qua điểm cố định

c) Theo câu a và câu b của bài trên ta có: [tex]OH\perp CD;MO\perp AB[/tex] nên chứng minh được
[tex]\Delta MHO\sim \Delta FEO(g-g)[/tex]
[tex]\Rightarrow OE.OM=OH.OF[/tex]
Lại có [tex]OE.OM=OA^2=R^2\Rightarrow OH.OF=R^2\Rightarrow OF=\frac{R^2}{OH}[/tex]
Vì 3 điểm [TEX]C;D;O[/TEX] cố định mà [TEX]H[/TEX] là trung điểm của [TEX]CD[/TEX] nên [TEX]H[/TEX] cố định suy ra [TEX]OH[/TEX] không đổi
Mà [TEX]R^2[/TEX] không đổi
Suy ra [TEX]OF[/TEX] không đổi mà [TEX]O[/TEX] cố định
Nên [TEX]F[/TEX] cố định
Vậy $AB$ luôn đi qua điểm $F$ cố định