Toán 9 Đường tròn tiếp xúc ngoài

[Minh Tín]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 2 đường tròn $(O;R)$ và $(O';R')$ (với $R>R'$) tiếp xúc ngoài tại điểm A. Vẽ dây AM của (O) và dây AN của (O') sao cho AM vuông góc AN. BC là tiếp tuyến chung của cả 2 đường tròn (O) và (O') (với $B \in (O)$ và $C \in (O')$)
a) Chứng minh $OM//O'N$
b) Chứng minh MN, BC, OO' đồng quy.
c) Xác định vị trí của M và N sao cho tứ giác MNO'O có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.

 

[7 1 2 5]

a) Dễ thấy O, A, O' thẳng hàng. Kéo dài AM cắt (O') tại I.
Ta có: [tex]\frac{O'I}{OM}=\frac{OA}{O'A}\Rightarrow O'I//OM[/tex]
Lại có: [tex]\widehat{MAN}=90^o\Rightarrow \widehat{IAN}=90^o\Rightarrow[/tex] IN là đường kính của (O') hay O', I, N thẳng hàng.
Vậy [tex]O'N//OM[/tex]
b) Gọi giao điểm của MN và OO' là K.
Ta có: [tex]OM//O'N\Rightarrow \frac{KO}{KO'}=\frac{OM}{O'N}=\frac{KM}{KN}[/tex]
Lại có: [tex]\frac{OM}{O'N}=\frac{OB}{OC}\Rightarrow \frac{KO}{KO'}=\frac{OC}{OB}[/tex]
Gọi giao điểm KC với OB là B'.
Vì [tex]O'C//OB'\Rightarrow \frac{KO}{KO'}=\frac{OB'}{O'C}=\frac{OB}{O'C}\Rightarrow OB=OB'\Rightarrow B\equiv B'\Rightarrow[/tex] MN, OO', BC đồng quy tại K.
c) Vẽ OH vuông với O'N. Ta có: [tex]S_{MNO'O}=\frac{OH(OM+O'N)}{2}=\frac{OH(R+R')}{2}\leq \frac{OO'(R+R')}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi H trùng O' hay OO' vuông với O'N.