- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1. tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
- đường thẳng y=b được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số [tex]y=f(x)[/tex] nếu thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau:
[tex]\underset{x\rightarrow -vc}{lim}f(x)=b;\underset{x\rightarrow +vc}{lim}f(x)=b[/tex]
- để tìm tiệm cận ngang (nếu có): ta tính [tex]\underset{x\rightarrow -vc}{lim}f(x);\underset{x\rightarrow +vc}{lim}f(x)[/tex]
*Chú ý: + tiệm cận ngang có thể cắt đồ thị hàm số
+ hàm đa thức không có tiệm cận ngang
+ hàm số bất kì chỉ có tối đa 2 tiệm cận ngang
- ví dụ 1: tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C) có phương trình: [tex]y=\frac{5x+1}{|x|-3}[/tex].
ta có: [tex]\underset{x\rightarrow -vc}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow -vc}{lim}\frac{5x+1}{|x|-3}=\underset{x\rightarrow -vc}{lim}\frac{5x+1}{-x-3}=-5[/tex]
[tex]\underset{x\rightarrow +vc}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow +vc}{lim}\frac{5x+1}{|x|-3}=\underset{x\rightarrow +vc}{lim}\frac{5x+1}{x-3}=5[/tex]
vậy, đồ thị có 2 tiệm cận ngang là [tex]y=5;=-5[/tex]
- ví dụ 2: tìm m để đồ thị hàm số (C) có phương trình [tex]y=\frac{4x-\sqrt{mx^2+1}}{x+1}[/tex] có 2 tiệm cận ngang.
[tex]\underset{x\rightarrow -vc}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow -vc}{lim}\frac{4x+\sqrt{mx^2+1}}{x+1}=\underset{x\rightarrow -vc}{lim}\frac{4+\sqrt{m+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}}=4+\sqrt{m}[/tex]
[tex]\underset{x\rightarrow +vc}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow +vc}{lim}\frac{4x-\sqrt{mx^2+1}}{x+1}=\underset{x\rightarrow +vc}{lim}\frac{4-\sqrt{m+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}}=4-\sqrt{m}[/tex]
để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang thì [tex]\left\{\begin{matrix} m\geq 0\\ 4-\sqrt{m}\neq 4+\sqrt{m} \end{matrix}\right. <=>m> 0[/tex]
vậy, khi m>0 thì đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang.
2. tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
- đường thẳng x=a được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số [tex]y=f(x)[/tex] nếu [tex]\underset{x\rightarrow a^+}{lim}f(x)=\pm vc[/tex] hoặc [tex]\underset{x\rightarrow a^-}{lim}f(x)=\pm vc[/tex]
- để tìm tiệm cận đứng của độ thị hàm số, ta tìm các giá trị x=a mà hàm số không xác định và tính các giới hạn khi [tex]x\rightarrow a[/tex], nếu kết quả là vô cực thì đó là tiệm cận đứng, nếu là giá trị hữu hạn thì không phải là tiệm cận đứng.
- ví dụ 3: tìm tiệm cận đúng của đồ thị hàm số (C) có phương trình [tex]y=\frac{x^2-5x+4}{x^2-16}[/tex].
hàm số không xác định tại [tex]x=\pm 4[/tex]. đến đây nhiều bạn sẽ vội kết luận đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng và dẫn đến sai. hàm số có thể viết lại [tex]y=\frac{(x-1)(x-4)}{(x+4)(x-4)}=\frac{x-1}{x+4},x\neq 4[/tex]
[tex]\underset{x\rightarrow 4}{lim}f(x)=\frac{3}{8}[/tex]. như vậy, x=4 không là tiệm cận đứng
[tex]\underset{x\rightarrow -4^+}{lim}f(x)=-vc;\underset{x\rightarrow -4^-}{lim}f(x)=+vc[/tex]
vậy, đồ thị hàm số chỉ có 1 tiệm cận đứng duy nhất là x=-4.
ví dụ 4: cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình bên, hỏi đồ thị hàm số f(x) và [tex]\frac{1}{f(x)-1}[/tex] có bao nhiêu tiệm cận đứng.
tìm tiệm cận đứng của f(x).
dư vào bảng biến thiên, ta nhận thấy có 2 giá trị mà hàm số không xác đinh. tuy nhiên tại x=0 thì giới hạn bên trái và giới hạn bên phải đều tiến về giá trị hữu hạn nên x=0 không thể là tiệm cận đứng. và tại x=1 thì giới hạn bên phải dần tiến về âm vô cực, do đó suy ra x=1 là tiệm cận đứng của đò thị hàm số.
tìm tiệm cận đứng của [tex]\frac{1}{f(x)-1}[/tex].
có 4 giá trị làm cho hàm số không xác định là x=0, x=1, x=a>1 và x=b<0. ta đi tính giới hạn. khi x=0, x=1 thì mẫu khác 0 nên hiển nhiên đó không thể là tiệm cận đứng của đồ thì hàm số. tại giá trị x=a, x=b ( với a, b thỏa mãn f(a)=f(b)=1 ) thì mẫu bằng 0, tử khác 0 nên giới hạn dần về vô cực. do đó đồ thị có 2 tiệm cận đứng là x=a và x=b
- đường thẳng y=b được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số [tex]y=f(x)[/tex] nếu thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau:
[tex]\underset{x\rightarrow -vc}{lim}f(x)=b;\underset{x\rightarrow +vc}{lim}f(x)=b[/tex]
- để tìm tiệm cận ngang (nếu có): ta tính [tex]\underset{x\rightarrow -vc}{lim}f(x);\underset{x\rightarrow +vc}{lim}f(x)[/tex]
*Chú ý: + tiệm cận ngang có thể cắt đồ thị hàm số
+ hàm đa thức không có tiệm cận ngang
+ hàm số bất kì chỉ có tối đa 2 tiệm cận ngang
- ví dụ 1: tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C) có phương trình: [tex]y=\frac{5x+1}{|x|-3}[/tex].
ta có: [tex]\underset{x\rightarrow -vc}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow -vc}{lim}\frac{5x+1}{|x|-3}=\underset{x\rightarrow -vc}{lim}\frac{5x+1}{-x-3}=-5[/tex]
[tex]\underset{x\rightarrow +vc}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow +vc}{lim}\frac{5x+1}{|x|-3}=\underset{x\rightarrow +vc}{lim}\frac{5x+1}{x-3}=5[/tex]
vậy, đồ thị có 2 tiệm cận ngang là [tex]y=5;=-5[/tex]
- ví dụ 2: tìm m để đồ thị hàm số (C) có phương trình [tex]y=\frac{4x-\sqrt{mx^2+1}}{x+1}[/tex] có 2 tiệm cận ngang.
[tex]\underset{x\rightarrow -vc}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow -vc}{lim}\frac{4x+\sqrt{mx^2+1}}{x+1}=\underset{x\rightarrow -vc}{lim}\frac{4+\sqrt{m+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}}=4+\sqrt{m}[/tex]
[tex]\underset{x\rightarrow +vc}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow +vc}{lim}\frac{4x-\sqrt{mx^2+1}}{x+1}=\underset{x\rightarrow +vc}{lim}\frac{4-\sqrt{m+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}}=4-\sqrt{m}[/tex]
để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang thì [tex]\left\{\begin{matrix} m\geq 0\\ 4-\sqrt{m}\neq 4+\sqrt{m} \end{matrix}\right. <=>m> 0[/tex]
vậy, khi m>0 thì đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang.
2. tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
- đường thẳng x=a được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số [tex]y=f(x)[/tex] nếu [tex]\underset{x\rightarrow a^+}{lim}f(x)=\pm vc[/tex] hoặc [tex]\underset{x\rightarrow a^-}{lim}f(x)=\pm vc[/tex]
- để tìm tiệm cận đứng của độ thị hàm số, ta tìm các giá trị x=a mà hàm số không xác định và tính các giới hạn khi [tex]x\rightarrow a[/tex], nếu kết quả là vô cực thì đó là tiệm cận đứng, nếu là giá trị hữu hạn thì không phải là tiệm cận đứng.
- ví dụ 3: tìm tiệm cận đúng của đồ thị hàm số (C) có phương trình [tex]y=\frac{x^2-5x+4}{x^2-16}[/tex].
hàm số không xác định tại [tex]x=\pm 4[/tex]. đến đây nhiều bạn sẽ vội kết luận đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng và dẫn đến sai. hàm số có thể viết lại [tex]y=\frac{(x-1)(x-4)}{(x+4)(x-4)}=\frac{x-1}{x+4},x\neq 4[/tex]
[tex]\underset{x\rightarrow 4}{lim}f(x)=\frac{3}{8}[/tex]. như vậy, x=4 không là tiệm cận đứng
[tex]\underset{x\rightarrow -4^+}{lim}f(x)=-vc;\underset{x\rightarrow -4^-}{lim}f(x)=+vc[/tex]
vậy, đồ thị hàm số chỉ có 1 tiệm cận đứng duy nhất là x=-4.
ví dụ 4: cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình bên, hỏi đồ thị hàm số f(x) và [tex]\frac{1}{f(x)-1}[/tex] có bao nhiêu tiệm cận đứng.
tìm tiệm cận đứng của f(x).
dư vào bảng biến thiên, ta nhận thấy có 2 giá trị mà hàm số không xác đinh. tuy nhiên tại x=0 thì giới hạn bên trái và giới hạn bên phải đều tiến về giá trị hữu hạn nên x=0 không thể là tiệm cận đứng. và tại x=1 thì giới hạn bên phải dần tiến về âm vô cực, do đó suy ra x=1 là tiệm cận đứng của đò thị hàm số.
tìm tiệm cận đứng của [tex]\frac{1}{f(x)-1}[/tex].
có 4 giá trị làm cho hàm số không xác định là x=0, x=1, x=a>1 và x=b<0. ta đi tính giới hạn. khi x=0, x=1 thì mẫu khác 0 nên hiển nhiên đó không thể là tiệm cận đứng của đồ thì hàm số. tại giá trị x=a, x=b ( với a, b thỏa mãn f(a)=f(b)=1 ) thì mẫu bằng 0, tử khác 0 nên giới hạn dần về vô cực. do đó đồ thị có 2 tiệm cận đứng là x=a và x=b
