đường thẳng đi qua điểm cố định

[lalinhtrang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Cho tam giác ABC và M, N thứ tự chuyển động trên 2 tia BA và CA sao cho BM=CN. Chứng minh đường trung trực của MN luôn đi qua 1 điểm cố định
2, Cho (O,R) và dây cung AB=R$\sqrt{3}$ . Điểm P khác A và B thuộc dây AB. Gọi (C,$R_1$) là đường tròn qua P và tiếp xúc với đường tròn qua P và tiếp xúc với (O) tại A. Gọi (D, $R_2$) là đường tròn đi qua P tiếp xúc với (O) tại B. Các đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại M khác P. Cm khi P di động thì PM luôn đi qua 1 điểm cố định.
3, Cho hình vuông ABCD có tâm O. Vẽ đường thẳng d quay quanh O cắt AD và BC theo thứ tự tại E và F. Từ E và F lần lượt vẽ các đường thẳng song song với BD và CA. Chúng cắt nhau tại I. Qua I vẽ đường thẳng d' vuông góc với EF. Cm d' luôn đi qua 1 điểm cố định khi d quay quanh O

 

[congchuaanhsang]

1, Gọi giao điểm của đường trung trực của MN với đường trung trực của BC là I

$\Delta$NIC = $\Delta$MIB (c.c.c)

\Rightarrow $\hat{ABI}=\hat{ACI}$ \Rightarrow $AICB$ nội tiếp

\Rightarrow I là điểm chính giữa cung BC chứa A của (ABC)

\Rightarrow I cố định

 

[congchuaanhsang]

3, Dễ cm I thuộc AB từ đó suy ra $\hat{AHB}=90^0$

\Rightarrow H $\in$ đường tròn đường kính AB

Gọi K là giao của HI với đường tròn đường kính AB

Các tứ giác AHBK và HIBF nội tiếp

\Rightarrow $\hat{KAB}=\hat{IHB}=\hat{ÌB}=45^0$

\Rightarrow K là điểm chính giữa cung AB của (AB)

\Rightarrow K cố định

 

[congchuaanhsang]

2, Các tiếp tuyến chung ở A và B cắt nhau ở I

Tính được $\hat{AOB}=120^0$ \Rightarrow $\hat{IBA}=60^0=\hat{IAB}$

\Rightarrow $\hat{AIB}=60^0$

$\hat{PMB}=\hat{IBP}=60^0$ ; $\hat{PMA}=\hat{IAP}=60^0$ (t/c góc tạo bởi tt và dây cung và góc nội tiếp)

\Rightarrow $\hat{AMB}=120^0$ + $\hat{AIB}=180^0$

\Rightarrow $AIBM$ nội tiếp

\Rightarrow $\hat{IMB}=\hat{IAB}=60^0=\hat{PMB}$

\Rightarrow I,P,M thẳng hàng

Vậy $MP$ đi qua I cố định