Toán 9 Đường phân giác

[Nguyễn Minh Sơn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH vuông góc với BC, AD là đường phân giác. Gọi HM,HN là đường phân giác của tam giác AHB,AHC.
a. Chứng minh rằng: DM // AC
b. Chứng minh rằng; AD = MN
c. Gọ AP;AQ là đường phân giác của tam giác ANB,AHC.
Chứng minh rằng: [tex]PQ^2=2.PB.CQ[/tex]

 

[Blue Plus]

a. Chứng minh rằng: DM // AC

Điều cần chứng minh tương đương với $DM\perp AB\Rightarrow DHMA$ nội tiếp. Vì vậy cần chứng minh $DHMA$ nội tiếp.
Giải:
$\widehat{DAM}=\widehat{BHM}=45^{\circ}$ nên tứ giác $DHMA$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{DMA}=\widehat{DHA}=90^{\circ}\Rightarrow DM\perp AB$
mà $AB\perp AC$ nên $DM\parallel AC$
Tương tự ta có thể chứng minh $DNAH$ nội tiếp hay năm điểm $A,M,H,D,N$ cùng nằm trên một đường tròn.

b. Chứng minh rằng; AD = MN

Từ câu a nhận thấy $AMDN$ là hình chữ nhật, mà $AD$ là đường chéo đồng thời là đường phân giác nên $AMDN$ là hình vuông. Suy ra $AD=MN$.

c. Gọ AP;AQ là đường phân giác của tam giác ANB,AHC.
Chứng minh rằng: PQ2=2.PB.CQ

Đặt $BC=a;AC=b;AB=c$ Chú ý $b^2+c^2=a^2$
Mấu chốt ở đây là nhận thấy $\triangle ABQ,\triangle ACP$ cân và $AB=BQ,AC=CP$. Chứng minh bằng cách chỉ ra 2 góc ở đáy bằng nhau.
Từ đó ta có: $PQ=AB+AC-BC=b+c-a;BP=BC-AC=a-b;CQ=BC-AB=a-c$
ĐCCM tương đương với:
$(b+c-a)^2=2(a-b)(a-c)\\\Leftrightarrow b^2+c^2+a^2-2ab-2ac+2bc=2a^2-2ab-2ac+2bc$
$\Leftrightarrow b^2+c^2=a^2$ (luôn đúng)
Vậy ta có ĐCCM.

Nếu có thắc mắc bạn có thể hỏi lại tại đây nhé ^^ Tụi mình sẽ hỗ trợ.