dùng quy nạp để chứng minh:

[luych_is_mylove]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a)[TEX] 1^2 + 2^2 +...+ n^2 = \frac{[n(n+1)(n+2)]}{6} \forall n \in N* [/TEX]
b) [TEX]1^3 + 2^3 +...+ n^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2 \forall n \in N*[/TEX]
c) [TEX]1^2 + 3^2 +... + (2n-1)^2 =\frac{n(4n^2 -1)}{3} \forall n \in N*[/TEX]

Bạn chú ý cách đặt tiêu đề!

 

[niemkieuloveahbu]

a)[TEX] 1^2 + 2^2 +...+ n^2 = \frac{[n(n+1)(n+2)]}{6} \forall n \in N* [/TEX]

Bài này sai đề,sửa như sau:

[TEX] 1^2 + 2^2 +...+ n^2 = \frac{[n(n+1)(2n+1)]}{6} \forall n \in N* [/TEX]

+) Với n=1 dễ thấy (1) đúng.
+) Giả sử (1) đúng với n=k, tức : [TEX]1^2 + 2^2 +...+ k^2 = \frac{[k(k+1)(2k+1)]}{6} [/TEX]
+) Ta CM (1) đúng với n=k+1
Thật vậy, [TEX] 1^2 + 2^2 +...+ k^2+(k+1)^2 = \frac{[k(k+1)(2k+1)]}{6}+(k+1)^2=\frac{(k+1)(2k+3)(k+2)}{6}(dung)[/TEX]

\Rightarrow đpcm,tương tự các câu còn lại,

 

[kunngocdangyeu]

b) [TEX]1^3 + 2^3 +...+ n^3 = [\frac{n(n+1)}{2}]^2 \forall n \in N*[/TEX]

Kiểm tra mệnh đề với n=1, ta có:
VT= [tex]1^3[/tex]= 1
VP= [tex][\frac{1(1+1)}{2}]^2= 1[/tex]
Vậy mệnh đề đúng với n=1
Giả sử mệnh đề luôn đúng với mọi số tự nhiên n=k[tex]\geq[/tex] 1
tức là: [TEX]1^3 + 2^3 +...+ k^3 = [\frac{k(k+1)}{2}]^2[/tex]
Ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với n= k+1
Tức là:
[TEX]1^3 + 2^3 +...+ (k+1)^3 = [\frac{(k+1)(k+2)}{2}]^2[/tex]
Thật vậy:
VT= [TEX]1^3 + 2^3 +...+ (k+1)^3[/tex]
= [TEX]1^3 + 2^3 +...+k^3 + (k+1)^3[/tex]
= [tex][\frac{k(k+1)}{2}]^2 + (k+1)^3[/tex]
= [tex] \frac{k^2.(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4}[/tex]
= [tex]\frac{(k+1)^2.[k^2+4(k+1)]}{4}[/tex]
= [tex]\frac{(k+1)^2.(k+2)^2}{4}[/tex]
= [tex] [\frac{(k+1)(k+2)}{2}]^2[/tex]= VP
Vậy mệnh đề luôn đúng với [tex]\forall[/tex] n [tex]\in[/tex] N*

 

[kunngocdangyeu]

c) [TEX]1^2 + 3^2 +... + (2n-1)^2 =\frac{n(4n^2 -1)}{3} \forall n \in N*[/TEX]

Kiểm tra mệnh đề với n=1, ta có:
VT= [tex]1^2[/tex]= 1
VP= [tex]\frac{1(4.1^2 -1)}{3}= 1[/tex]
Vậy mệnh đề đúng với n=1
Giả sử mệnh đề luôn đúng với mọi số tự nhiên n=k[tex]\geq[/tex]1
Tức là:
[TEX]1^2 + 3^2 +... + (2k-1)^2 =\frac{k(4k^2 -1)}{3}[/TEX]
Ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1
Tức là:
[TEX]1^2 + 3^2 +... + (2k+1)^2 =\frac{(k+1)[4(k+1)^2 -1]}{3}[/TEX]
Thật vậy:
VT=[TEX]1^2 + 3^2 +... + (2k+1)^2[/TEX]
=[tex]1^2 + 3^2 +... +(2k-1) + (2k+1)^2[/TEX]
=[tex]\frac{k(4k^2 -1)}{3} + (2k+1)^2[/TEX]
=[tex]\frac{4k^3+ 12k^2+ 11k+ 3}{3}[/tex]
=[tex]\frac{4k^3+ 4k^2+ 8k^2+ 8k+ 3k+ 3}{3}[/tex]
=[tex]\frac{4k^2.(k+1)+ 8k(k+1)+ 3(k+1)}{3}[/tex]
=[tex]\frac{(k+1)(4k^2+ 8k+ 3}{3}[/tex]
=[tex]\frac{(k+1)[(4k^2+ 8k+ 4)-1]}{3}[/tex]
=[tex]\frac{(k+1)[4(k+1)^2-1]}{3}[/tex]=VP
Vậy mệnh đề luôn đúng với mọi n[tex]\in[/tex]N*