Toán 9 Dùng định lí về phép chia có dư

[Tríp Bô Hắc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[Tư Âm Diệp Ẩn]

1. Vì n không chia hết cho 3 nên n = 3k+1 hoặc 3k+2.
Xét n = 3k+1 ta có: A=[tex]3^{2n}+3^n+1=3^{2(3k+1)}+3^{3k+1}+1[/tex]
[tex]A=9^{3k+1}+3^{3k+1}+1=9^{3k+1}-9+27^k.3-3+13[/tex]
[tex]A=9(729^k-1)+3(27^k-1)+13[/tex]
*Nhận xét: [tex](729^k-1)[/tex] chia hết cho [tex](729-1)[/tex] với mọi x [tex]\rightarrow (729^k-1)[/tex] chia hết cho 13
[tex](27^k-1)[/tex] chia hết cho [tex](27-1)[/tex] với mọi x [tex]\rightarrow (27^k-1)[/tex] chia hết cho 13.
[tex]\rightarrow A=9(729^k-1)+3(27^k-1)+13[/tex] chia hết cho 13. (1)
Xét tương tự với n = 3k+1 ta cũng có [tex]A=9^{3k+2}-81+27^k.9-9+91=9^2(729^k-1)+3^2(27^k-1)+91[/tex] chia hết cho 13.(2)
Từ (1) và (2) ta có đpcm

 

[Quang Trungg]

View attachment 67584

1. Vì n không chia hết cho 3 nên n = 3k+1 hoặc 3k+2.
Xét n = 3k+1 ta có: A=[tex]3^{2n}+3^n+1=3^{2(3k+1)}+3^{3k+1}+1[/tex]
[tex]A=9^{3k+1}+3^{3k+1}+1=9^{3k+1}-9+27^k.3-3+13[/tex]
[tex]A=9(729^k-1)+3(27^k-1)+13[/tex]
*Nhận xét: [tex](729^k-1)[/tex] chia hết cho [tex](729-1)[/tex] với mọi x [tex]\rightarrow (729^k-1)[/tex] chia hết cho 13
[tex](27^k-1)[/tex] chia hết cho [tex](27-1)[/tex] với mọi x [tex]\rightarrow (27^k-1)[/tex] chia hết cho 13.
[tex]\rightarrow A=9(729^k-1)+3(27^k-1)+13[/tex] chia hết cho 13. (1)
Xét tương tự với n = 3k+1 ta cũng có [tex]A=9^{3k+2}-81+27^k.9-9+91=9^2(729^k-1)+3^2(27^k-1)+91[/tex] chia hết cho 13.(2)
Từ (1) và (2) ta có đpcm

Câu 2:
Ta có n∈ Z và 7 là số nguyên tố
n^7 đồng dư n (mod 7)
=> n^7 - n đồng dư 0 (mod 7)
=> n^7 - n chia hết cho 7
Đặt A(n)=n^7 - n
+ n=0 => A(n)=0 chia hết cho 7
+Giả sử n=k thì A(k)= k^7-k chia hết cho 7
+Với n=k+1 thì
A(k+1)= (k+1)^7-(k+1)
= k^7 + 7k^6 + 21k^5 + 35k^4 + 35k^3 + 21k^2 + 7k +1 - k -1
= k^7 - k + 7( k^6 +3k^5 + 5k^4 + 5k^3 +3k^2 +k)
Do k^7-k chia hết cho 7
& 7( k^6 +3k^5 + 5k^4 + 5k^3 +3k^2 +k) chia hết cho 7
Suy ra: A(k+1) chia hết cho 7
Nguồn:St