dùng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức

[thanhuyen1611]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

2^sinx + 2^tanx > 2^(x+1) với x thuộc từ 0 dến pi/2

 

[xmen_d94]

dat f(x)=2^sinx+2^tanx-2^(x+1)
tinh dao hamf'(x)
sau do cm f'(x)>f(0) la oke

 

[tuyn]

2^sinx + 2^tanx > 2^(x+1) với x thuộc từ 0 dến pi/2

Áp dụng BĐTCoosssi ta có:
[TEX]2^{sinx}+2^{tanx} \geq 2\sqrt{2^{sinx+tanx}}[/TEX]
Ta sẽ CM [TEX]2\sqrt{2^{sinx+tanx}} \geq 2^{x+1} \Leftrightarrow sinx+tanx \geq 2[/TEX]
Xét hàm số: [TEX]f(x)=sinx+tanx-2x, x \in [0;\frac{\pi}{2})[/TEX]
[TEX]f'(x)=cosx+\frac{1}{cos^2x}-2 \geq \frac{2}{\sqrt{cosx}}-2=\frac{2(1-\sqrt{cosx})}{\sqrt{cosx}} \geq 0 \forall x \in [0;\frac{\pi}{2}) \Rightarrow f(x) \geq f(0)=0[/TEX]