Hàm phải liên tục và xác định trên [a;b] điều này mới đúng (ví dụ hàm [tex]y=\dfrac{x+1}{x-1}[/tex] đơn điệu trên (1;2) là đúng chứ bảo từ đó suy ra đơn điệu trên [1;2] là bậy)
[tex](a;b)\subset [a;b][/tex] nên đơn điệu trên [tex][a;b]\Rightarrow[/tex] đơn điệu trên (a;b) là hiển nhiên đúng.
Nếu hàm f(x) đơn điệu trên (a;b), giả sử là đơn điệu tăng trên (a;b) [tex]\Rightarrow f'(x)\geq 0[/tex] với mọi x thuộc (a;b) trong đó dấu "=" xảy ra tại hữu hạn điểm. Giả sử nghiệm nhỏ nhất của [tex]f'(x)=0[/tex] trên (a;b) là [tex]x_0 \Rightarrow a<x_0<b[/tex]
[tex]\Rightarrow f'\left ( \frac{a+x_0}{2} \right )>0[/tex]
Xét tại mút a, giả sử khẳng định hàm đơn điệu trên [a;b) là sai [tex]\Rightarrow f'(a)< 0[/tex]
[tex]\Rightarrow f'(a).f'\left ( \frac{a+x_0}{2} \right )<0\Rightarrow f'(x)[/tex] có 1 nghiệm [tex]x_1[/tex] sao cho [tex]a< x_1 < \frac{a+x_0}{2}\Rightarrow x_1< x_0[/tex] trái giả thiết [tex]x_0[/tex] là nghiệm nhỏ nhất
Phản chứng tương tự cho mút b
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
