Toán 11 Đoán mũ

[Minh Tín]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) 100 người đứng thành vòng tròn và mặc một cái mũ mang màu [tex]\color{blue}{xanh}[/tex] hoặc màu [TEX]\color{red}{đỏ}[/TEX]. Tất cả đều có thể nhìn màu mũ người khác nhưng không nhìn được mũ của mình. Nếu tất cả 100 người trả lời đúng màu mũ thì sẽ thắng.
100 người được bàn 1 chiến thuật có thể làm cho khả năng chiến thắng cao nhất. Tính xác suất chiến thắng cao nhất? (phân số tối giản)
2) 10 người đứng thành vòng tròn và mặc một cái mũ mang màu [tex]\color{blue}{xanh}[/tex], [tex]\color{black}{đen}[/tex] hoặc màu [TEX]\color{red}{đỏ}[/TEX]. Tất cả đều có thể nhìn màu mũ người khác nhưng không nhìn được mũ của mình. Nếu tất cả 10 người trả lời đúng màu mũ thì sẽ thắng.
10 người được bàn 1 chiến thuật có thể làm cho khả năng chiến thắng cao nhất. Tính xác suất chiến thắng cao nhất? (phân số tối giản)

 

[Minh Tín]

Khả năng chiến thắng cao nhất sẽ là [tex]\frac{1}{n}[/tex] với n là số số màu mũ.
Áp dụng vào 2 câu, ta có:
a) Ta có chiến thuật: Nếu thấy số số mũ màu xanh là số lẻ thì hãy nói màu xanh; Nếu không thì màu đỏ (hoặc tương tự). (một ăn cả, ngã về không)
Vậy có 2 trường hợp xảy ra:

1. Người mang mũ đỏ thấy [TEX]2k[/TEX] mũ xanh -> hô đỏ; người mang mũ xanh thấy [TEX]2k - 1[/TEX] mũ xanh -> hô xanh (chuẩn)
2. Người mang mũ đỏ thấy [TEX]2k + 1[/TEX] mũ xanh -> hô xanh; người mang mũ xanh thấy [TEX]2k[/TEX] mũ xanh -> hô đỏ (sai)

Vây khả năng chiến thắng cao nhất là [tex]\frac{1}{2}[/tex]
b) Tương tự.
Chiến thuật (có thể tương tự) Đặt số mũ xanh, đen, đỏ lần lượt là a;b;c thì:

• Nếu thấy [tex]a \equiv b \equiv c \pmod{3}[/tex] thì hô xanh
• Nếu thấy [tex]a - 1 \equiv b+1 \equiv c \pmod{3}[/tex] thì hô đen
• Nếu thấy [tex]a - 1 \equiv b \equiv c+1 \pmod{3}[/tex] thì hô đỏ

Cách này sẽ có khả năng chiến thắng cao nhất là [tex]\frac{1}{3}[/tex]