Đề bài của bạn gõ thiếu dấu bình phương rồi, phải là: [TEX] \frac{BD.BE}{CE.CD} = (\frac{AB}{AC})^2[/TEX]
Lời giải: ( Đối với đề bài đã sửa)
Ta cần bổ đề sau:
Cho tam giác ABC, D thuộc AB, E thuộc AC. Ta luôn có:
[TEX] \frac{S_(ADE)}{S_(ABC} = \frac{AD.AE}{AB.AC}[/TEX]
Bổ đề này chứng minh rất dễ, các bạn có thể tự chứng minh bằng diện tích.
Quay trở lại bài toán ban đầu.( Các bạn vẽ E nằm giữa B và D cho dễ nhìn)
Điều kiện cần: Ta có [TEX] \{BAE} = \{DAC}[/TEX] và cần phải chứng minh [TEX] \frac{BD.BE}{CE.CD} = (\frac{AB}{AC})^2[/TEX]. Thật vậy:
Xét tam giác BAE và tam giác CAD có góc BAE bằng góc CAD nên theo bổ đề ta có:
[TEX] \frac{S_(BAE)}{S_(CAD)} = \frac{AB.AE}{AC.AD}[/TEX] mà [TEX] \frac{S_(BAE)}{S_(CAD)} = \frac{BE}{CD} \Rightarrow \frac{AB.AE}{AC.AD} = \frac{BE}{CD}[/TEX]
Tương tự đối với hai tam giác ABD và ACE thì ta cũng có được kết quả:
[TEX] \frac{AB.AD}{AC.AE} = \frac{BD}{CE}[/TEX]. Nhân hai kết quả trên với nhau ta có điều phải chứng minh.
Điều kiện đủ: Ta cần chứng minh ngược lại, tức là có [TEX] \frac{BD.BE}{CE.CD} = (\frac{AB}{AC})^2[/TEX] và cần chứng minh [TEX] \{BAE} = \{DAC}[/TEX]. Thật vậy:
Kẻ Bx song song AC, Bx giao AE và AD tại M và N. Dễ thấy:
[TEX] \frac{BE}{CE} = \frac{BM}{AC}[/TEX] và [TEX] \frac{BD}{CD} = \frac{BN}{AC}[/TEX] nên [TEX] \frac{BM.BN}{(AC)^2} = \frac{BD.BE}{CE.CD} = (\frac{AB}{AC})^2 \Rightarrow BM.BN = (AB)^2 \Rightarrow \frac{BM}{BA} = \frac{BA}{BN}[/TEX] kết hợp với [TEX] \{MBA} = \{ABN}[/TEX] nên tam giác MBA đồng dạng với tam giác ABN nên [TEX] \{BAM} = \{ANB} = \{CAN}[/TEX] nên ta có điều phải chứng minh.
Bài toán kết thúc!!!!!!!
>-
>-
>-
>-
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn