Toán 12 $\displaystyle \int\limits \dfrac{4x-1}{4x^2-1} \mathrm{d}x$

[TyhLinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm nguyên hàm:
1.[tex]\int \frac{4x-1}{4x^{2}-1}dx[/tex]
2.[tex]\int \frac{2x+3}{x^{2}+3x+5}dx[/tex]

 

[minhhoang_vip]

1.
Ta có $\dfrac{4x-1}{4x^2-1}=\dfrac{4x-1}{(2x-1)(2x+1)} = \dfrac{A}{2x-1}+\dfrac{B}{2x+1}$
$= \dfrac{2Ax+A+2Bx-B}{(2x-1)(2x+1)}=\dfrac{2x(A+B)+A-B}{(2x-1)(2x+1)}$
Nên ta có hệ phương trình: $
\left\{\begin{matrix}
2(A+B)=4 \\ A-B=-1
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
A= \dfrac{1}{2} \\ B= \dfrac{3}{2}
\end{matrix}\right.
$
Do đó $\dfrac{4x-1}{4x^2-1} = \dfrac{1}{2(2x-1)}+\dfrac{3}{2(2x+1)}$
+ $\displaystyle \int {\dfrac{4x-1}{4x^2-1}}dx =\displaystyle \int { \left [ \dfrac{1}{2(2x-1)}+\dfrac{3}{2(2x+1)}\right ] }dx$
$= \dfrac{1}{2} \displaystyle \int {\dfrac{dx}{2x-1}} +\dfrac{3}{2} \displaystyle \int {\dfrac{dx}{2x+1}}$
$=\dfrac{1}{4} \ln{|2x-1|}+ \dfrac{3}{4} \ln{|2x+1|}+C$

2. $\displaystyle \int{ \dfrac{2x+3}{x^2+3x+5}}dx$
Đặt $t=x^2+3x+5 \Rightarrow dt=(2x+3)dx$
$\Rightarrow \displaystyle \int{ \dfrac{1}{t}}dt=\ln{ |t|}+C= \ln{|x^2+3x+5|}+C$

 

[hoangtuan9123]

Tìm nguyên hàm:

2.[tex]\int \frac{2x+3}{x^{2}+3x+5}dx[/tex]

[tex]\int \frac{2x+3}{x^{2}+3x+5}\frac{d(x^{2}+3x+5)}{2x+3}=\int \frac{1}{x^{2}+3x+5}d(x^{2}+3x+5) =ln(x^{2}+3x+5)[/tex]+C