Dirichlet 2

[cuong131hv]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Trong một lục giác đều cạnh bằng 1 lấy 19 điểm tron đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác với đỉnh là 3 điểm trong các điểm đã cho có ít nhất một góc không lớn hơn 45 độ và nằm trong một đường tròn bán kính nhỏ hơn [TEX]\frac{3}{5}[/TEX]
2) Một tứ giác lồi có độ dài 4 cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng 3 số bất kỳ trong chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất 2 cạnh bằng nhau

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1. Chia lục giác ra thành $6$ tam giác đều. Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại $4$ điểm $A,B,C,D$ trong $19$ điểm trên nằm trong một tam giác nào đó, mà tam giác đều đó có đường tròn ngoại tiếp là $\dfrac{\sqrt{3}}{3}<\dfrac{3}{5}$
Nếu $ABCD$ lồi thì xét các góc $ABD, ACD, BCA,BDA, ...$
Tổng $8$ góc này là $360^{o}$ nên có một góc không lớn hơn $45^{o}$
Tương tự với trường hợp điểm $D$ nằm trong tam giác $ABC$
Bài 2. Nếu các cạnh của tứ giác đó là $a<b<c<d$
Đặt $b+c+d=xa, c+d+a=yb, d+a+b=zc, a+b+c=td$ thì $x>y>z>t$
Khi đó $A=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}+ \dfrac{1}{t+1}=1$
Mà $a+b+c>d$ nên $t\ge 2$, do đó $A\le \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}<1$ vô lý.