1. Nhận thấy [imath]a \mid (a-1)!+1 \Rightarrow a[/imath] là số nguyên tố.
Ta có: [imath](a-2)!=\dfrac{a^n-1}{a-1}=a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1[/imath]
Xét [imath]a \geq 5[/imath]. Khi đó [imath]a-1[/imath] là hợp số nên [imath](a-2)! \equiv 0(\mod a-1)[/imath]
Mặt khác, [imath]a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1 \equiv 1^{n-1}+1^{n-2}+...+1^1+1 \equiv n (\mod a-1)[/imath]
[imath]\Rightarrow a-1 \mid n \Rightarrow n \geq a-1[/imath]
[imath]\Rightarrow (a-1)!=a^n-1 \geq a^{a-1}-1 \geq (a-1)^{a-1}>(a-1)![/imath]
Từ đó [imath]a \leq 3[/imath]. Với [imath]a=3[/imath] thì ta có [imath]n=1[/imath] thỏa mãn, còn [imath]a=2[/imath] ta có [imath]n=1[/imath] thỏa mãn.
Vậy [imath](a,n) \in \lbrace (3,1),(2,1) \rbrace[/imath]
2. Với [imath]n \in \lbrace 1,2,3,4,5 \rbrace[/imath] ta thấy [imath]n \in \lbrace 1,2,3,4 \rbrace[/imath] thỏa mãn. Xét [imath]n \geq 6[/imath]
Nếu [imath]2n-5[/imath] là hợp số, ta viết [imath]2n-5=pq[/imath] với [imath]p \geq q>1[/imath].
Với [imath]p>q[/imath] thì ta thấy [imath]q \geq 2 \Rightarrow p \leq n-1[/imath] nên [imath]pq \mid n![/imath]
Với [imath]p=q \geq 2[/imath] thì ta thấy [imath]p \leq \sqrt{2n-5}[/imath] nên [imath]2p=\sqrt{8n-20}<n[/imath]
Vậy nên [imath]2n-5 \mid n![/imath]. Từ đó [imath]2n-5 \mid 3[/imath] (mâu thuẫn vì [imath]2n-5[/imath] là hợp số)
Suy ra [imath]2n-5[/imath] là số nguyên tố. Đặt [imath]2n-5=p \geq 7[/imath].
Theo định lý Wilson ta có [imath](p-1)! \equiv 1 (\mod p)[/imath]. Mặt khác [imath](3,p)=1[/imath] nên [imath]p \mid n!+1[/imath]
Ta có: [imath](p-1)!=(\dfrac{p-1}{2})!\cdot \dfrac{p+1}{2} \cdot \dfrac{p+3}{2} \cdot ... (p-1) \equiv (\dfrac{p-1}{2})!\cdot (-\dfrac{p-1}{2})(-\dfrac{p-3}{2})...(-1) \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}(\dfrac{p-1}{2})!^2 (\mod p)[/imath]
[imath]\Rightarrow (-1)^{n-3}(n-3)!^2 \equiv -1(\mod p)[/imath]
[imath]\Rightarrow (-1)^{n-2}n!^2 \equiv [n(n-1)(n-2)]^2 (\mod p)[/imath]
[imath]\Rightarrow (-1)^{n-1} \equiv [n(n-1)(n-2)]^2 (\mod p)[/imath]
[imath]\Rightarrow (-1)^{n-1} \cdot 64 \equiv [2n(2n-2)(2n-4)]^2 \equiv [5 \cdot 3 \cdot 1]^2 \equiv 225(\mod p)[/imath]
Nếu [imath]2 \mid n[/imath] thì [imath]p \mid 225+64 \Rightarrow p \mid 17^2 \Rightarrow p=17 \Rightarrow n=11[/imath](mâu thuẫn)
Nếu [imath]2 \nmid n[/imath] thì [imath]p \mid 225-64 \Rightarrow p \mid 171 \Rightarrow p \in \lbrace 3,19 \rbrace[/imath].
Kết hợp với [imath]n[/imath] lẻ ta có mâu thuẫn. Vậy [imath]n \in \lbrace 1,2,3,4 \rbrace[/imath] thỏa mãn đề bài.
3. Theo định lý Wilson ta có ngay [imath]a \equiv 1(\mod p)[/imath]
Đặt [imath]a=kp+1[/imath] với [imath]k \in \mathbb{N}[/imath]. Khi đó [imath](p-1)!+kp+1=p^m \Rightarrow (p-1)!+kp=p^m-1[/imath]
[imath]\Rightarrow p-1 \mid kp \Rightarrow p-1 \mid k[/imath].
Đặt [imath]k=(p-1)q[/imath] với [imath]q \in \mathbb{N}[/imath] ta có [imath](p-1)!+qp(p-1)+1=p^m[/imath]
Xét [imath]p=2[/imath] thì ta được [imath]2q+2=2^m[/imath]
Vì [imath]a=2q+1 \leq 20 \Rightarrow 2^m \leq 21 \Rightarrow m \leq 4[/imath]
Từ đó các cặp [imath](a,m)[/imath] thỏa mãn là [imath](1,1),(3,2),(7,3),(15,4)[/imath]
Xét [imath]p=3[/imath] thì ta được [imath]a+2=3^m[/imath]
Vì [imath]a \leq 45 \Rightarrow 3^m \leq 47 \Rightarrow m \leq 3[/imath]
Từ đó các cặp [imath](a,m)[/imath] thỏa mãn là [imath](1,1),(7,2),(25,3)[/imath]
Xét [imath]p \geq 5[/imath].
Ta có [imath]a=qp(p-1)+1 \leq 5p^2 \Rightarrow q \leq 6[/imath]
Mặt khác, [imath]q=0[/imath] không thỏa mãn (theo bài 1) nên [imath]1 \leq q \leq 6[/imath].
Ta có: [imath]p^m-1=(p-1)!+qp(p-1) <(p-1)^{p-1}+(p-1)^p=p(p-1)^{p-1}<p^p-1[/imath] nên [imath]m<p[/imath]
Lại có [imath](p-2)!+qp=\dfrac{p^m-1}{p-1} \equiv m(\mod p-1)[/imath]
[imath]\Rightarrow q \equiv m(\mod p-1)[/imath]
Vì [imath]m<p \Rightarrow m=q[/imath]
[imath]\Rightarrow (p-1)!+qp(p-1)=p^m-1<p^6[/imath]
Lại có: [imath](x-1)!>x^6 \forall x \geq 11[/imath]
[imath]\Rightarrow p \leq 7[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{p-3}{2} < 6 \Rightarrow p <15[/imath]
+ [imath]p=5 \Rightarrow 24 \leq 5^m=24+a \leq 149 \Rightarrow 2 \leq m \leq 3[/imath]
Các cặp [imath](a,m)[/imath] thỏa mãn là [imath](1,2),(101,3)[/imath]
+ [imath]p=7 \Rightarrow 7! \leq 7^m=7!+a \leq 7!+5 \cdot 7^2[/imath]
Ta thấy không tồn tại [imath]m[/imath] thỏa mãn.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
