Toán Định lý Ta let

[huyhihung]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC có dộ dài 3 cạnh BC<AC<AB là a,b,c. Các đường cao tương ứng là Ha,Hb,Hc.Hỏi tam giác đó là tam giác gì để (a+b+c)^2/Ha^2+Hb^2+Hc^2 đạt GTNN

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Cho tam giác ABC có dộ dài 3 cạnh BC<AC<AB là a,b,c. Các đường cao tương ứng là Ha,Hb,Hc.Hỏi tam giác đó là tam giác gì để (a+b+c)^2/Ha^2+Hb^2+Hc^2 đạt GTNN

Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.
Ta có:Áp dụng $S=pr$ trong đó $p=\dfrac{a+b+c}{2}$.Khi đó:
[tex]h_a=\dfrac{2S}{a}=\dfrac{2pr}{h_a}=\dfrac{(a+b+c)r}{a} \\\Rightarrow h_a+h_b+h_c=(a+b+c)r(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \\\Rightarrow h_a^2+h_b^2+h_c^2=(a+b+c)^2r^2(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}) \\\Rightarrow \dfrac{(a+b+c)^2}{h_a^2+h_b^2+h_c^2}=\dfrac{1}{r^2(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{b^2})}[/tex].
Áp dụng công thức herong ta có:
[tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\\Rightarrow pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \\\Rightarrow (pr)^2=p(p-a)(p-b)(p-c) \\\Rightarrow pr^2=(p-a)(p-b)(p-c) \\\Rightarrow \dfrac{1}{r^2}=\dfrac{p}{(p-a)(p-b)(p-c)} \\\Rightarrow \dfrac{1}{r^2}=\dfrac{p-a+p-b+p-c}{(p-a)(p-b)(p-c)}(2p=a+b+c) \\\Rightarrow \dfrac{1}{r^2}=\dfrac{1}{(p-a)(p-b)}+\dfrac{1}{(p-b)(p-c)}+\dfrac{1}{(p-c)(p-a)} \\\Rightarrow \dfrac{1}{4r^2}=\dfrac{1}{4(p-a)(p-b)}+\dfrac{1}{(4p-b)(p-c)}+\dfrac{1}{(4p-c)(p-a)} \\\geq \dfrac{1}{(2p-a-b)^2}+\dfrac{1}{(2p-b-c)^2}+\dfrac{1}{(2p-c-a)^2} \\=\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2} \\\Rightarrow \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2} \leq \dfrac{1}{4r^2} \\\Rightarrow \dfrac{1}{r^2(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2})} \geq \dfrac{1}{r^2.\dfrac{1}{4r^2}}=4[/tex].
Vậy min của biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi $a=b=c$.Khi đó tam giác ABC đều .