Vật lí 11 Định lý Ostrogradski-Gauss

[Pyrit]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Như ta đã biết công thức tính cường độ điện trường tạo bởi một điện tích điểm là [imath]E=\frac{k.|q|}{\varepsilon r^{2}}[/imath]. Nhưng nếu xét một vật mang điện thì sao? Đặc biệt hơn là vật mang điện đó có hình dạng đặc biệt (hình cầu, mặt phẳng, hình trụ,...).
Ta có 2 phương pháp để giải quyết vấn đề này, đó là Phương pháp vi phân và Phương pháp áp dụng định lý O-G (Ostrogradski-Gauss). Hôm nay chúng ta sẽ đi tìm hiểu phương pháp áp dụng định lý O-G, bên cạnh đó sẽ có một số bài tập vận dụng để có thể hiểu rõ hơn về phương pháp này.

I. LÝ THUYẾT
1. Điện thông
- Xét một diện tích S có vector pháp tuyến [imath]\vec{n}[/imath] nằm trong vùng điện trường đều [imath]\vec{E}[/imath]. Lúc đó, thông lượng điện trường đi qua diện tích S đó là một đại lượng vô hướng, được ký hiệu là [imath]\phi[/imath] và có giá trị bằng:
[tex]\phi =E.S.cos(\vec{E},\vec{n})[/tex]
- Nếu như diện tích S đó không phẳng và điện trường [imath]\vec{E}[/imath] không đều. Ta sẽ xét một diện tích [imath]\Delta S[/imath] đủ nhỏ để được xem là phẳng và tại đó điện trường $\vec{E} xem là đều:
[tex]\Delta \phi =E.\Delta S.cos(\vec{E},\vec{n})[/tex].

​

- [imath]\Delta \phi[/imath] có thể nhận giá trị âm dương tùy theo chiều pháp tuyến [imath]\vec{n}[/imath] mà ta chọn.
- Khi xét về độ lớn, điện thông ([imath]\Delta \phi[/imath]) qua mặt [imath]\Delta S[/imath] có ý nghĩa là số đường sức (N) đi qua mặt diện tích đó.
Tổng quát lại, nếu muốn xác định điện thông [imath]\phi[/imath] qua một mặt S bất kỳ, ta cũng sẽ chia mặt đó thành các nguyên tố diện tích [imath]\Delta S[/imath]. Điện thông mỗi mặt nhỏ đó sẽ là [imath]\Delta \phi[/imath]. Điện thông qua mặt S đó sẽ là:

[tex]\phi =\sum \Delta \phi =\sum E.\Delta Scos(\vec{E},\vec{n})[/tex]

*Lưu ý: Đối với mặt kín, khi tính điện thông ta luôn chọn chiều của pháp tuyến [imath]\vec{n}[/imath] là chiều hướng ra phía ngoài của mặt S nào đó.
2. Định lý O-G (Ostrogradski-Gauss)
a) Định lý O-G cho chân không. (Có phần chứng minh nhưng mình sẽ lược bớt mà chỉ nhấn vào trọng tâm phần định lý, bạn nào cần và cảm thấy khó hiểu thì mình sẽ chứng minh ở bài viết tiếp nhé )
- Định lý O-G cho chân không sẽ được phát biểu như sau: Điện thông qua một mặt kín có giá trị bằng tổng đại số các điện tích bên trong mặt đó chia cho hằng số điện [imath]\varepsilon _0[/imath]:

[tex]\phi = \frac{1}{\varepsilon _0}\sum_{i}q_i[/tex]

b) Định lý O-G cho môi trường điện môi.
- Nếu như trong môi trường điện môi thì ta sẽ có thêm hằng số điện môi [imath]\varepsilon[/imath] thôi và phát biểu cũng tương tự như Định lý O-G cho chân không vậy, lúc đó ta sẽ có công thức:

[tex]\phi = \frac{1}{\varepsilon \varepsilon _0}\sum_{i}q_i[/tex]

​

 

[Pyrit]

II. ÁP DỤNG
Vậy để có thể áp dụng định lý O-G vào các bài toán tìm cường độ điện trường của một vật mang điện có kích thước thì ta sẽ làm như thế nào? Ta sẽ tuân theo thứ tự 3 bước sau:

• Bước 1: Ta sẽ xác định yếu tố đối xứng của vật mang điện tùy theo kích thước của vật đó (đối xứng cầu, trục, phẳng,...) để có thể dễ dàng đưa ra được đặc điểm của cường độ điện trường. Ví dụ: Hướng của vector [imath]\vec{E}[/imath] ở mỗi điểm bất kỳ trên vật, sự biến thiên của [imath]\vec{E}[/imath] theo vị trí trong không gian,...
• Bước 2: Tiếp theo là chọn một mặt kín S (mặt Gauss) chứa một điểm ta chọn ban đầu để xác định [imath]\vec{E}[/imath] (mặt Gauss phải chứa yếu tố đối xứng của vật mang điện).
• Bước 3: Cuối cùng ta tính điện thông [imath]\phi[/imath] qua mặt Gauss đó theo công thức: [imath]\phi =E.S.cos(\vec{E},\vec{n})[/imath]. Từ đó áp dụng công thức của định lý O-G tùy trường hợp trong chân không hoặc môi trường điện môi để tính được giá trị cường độ điện trường [imath]\vec{E}[/imath].

III. BÀI TẬP
*Lưu ý: Hình ảnh chỉ mang tính chất minh họa, không chính xác 100%
Câu 1: Xác định cường độ điện trường gây ra bởi một mặt phẳng rộng vô hạn tích điện đều có mật độ điện mặt là [tex]\sigma[/tex] đặt trong chân không tại một điểm cách mặt phẳng một đoạn h.

Câu 2: Cho một quả cầu kim loại có tâm O, bán kính R, tích điện đều với mật độ điện khối là [imath]\rho[/imath] và đặt trong chân không. Tính cường độ điện trường tại một điểm cách tâm quả cầu đoạn r:
a) r<R

b) r>R

Câu 3: Xác định cường độ điện trường gây ra bởi một dây dẫn thẳng dài vô hạn, tích điện đều với mật độ điện dài là [imath]\lambda[/imath] tại một điểm cách dây đoạn d.

 

[Pyrit]

*Đáp án
Câu 1:
Cho mặt Gauss là một hình trụ có 2 đáy hình tròn diện tích S có cường độ điện trường đi qua, mặt Gauss có chứa điểm cách mặt phẳng đoạn h.
Điện thông qua mặt Gauss: [tex]\phi =\phi 1+\phi 2[/tex]
Điện thông qua hai đáy: [tex]\phi 1=\sum E.S.cos\alpha 1=2ES[/tex]
Điện thông qua hai mặt bên: [imath]\phi 2=0[/imath] => [imath]\phi =2ES[/imath] (1)
Theo định lý O-G: [tex]\phi=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_i=\frac{1}{\varepsilon_0}.\sum \sigma .S=\frac{\sigma S}{\varepsilon_0}[/tex] (2)
Từ (1) và (2), ta có:
[math]2ES=\frac{\sigma S}{\varepsilon_0}\Rightarrow E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}[/math]
Câu 2:
Gọi điểm M là điểm cách quả cầu 1 đoạn r.
Đường sức điện trường hướng dọc theo bán kính của quả cầu.
Cho mặt Gauss là mặt cầu đồng tâm với quả cầu tích điện ban đầu.
a) r<R
Điện thông qua mặt Gauss: [tex]\phi =E.S'=E.4\pi.r^{2}[/tex] (1)
Theo định lý O-G: [tex]\phi=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_i=\frac{1}{\varepsilon_0}.\sum \rho .V'=\frac{\rho .\frac{4}{3}\pi.r^{3}}{\varepsilon_0}[/tex] (2)
Từ (1) và (2), ta có:
[math]E.4\pi.r^{2}=\frac{\rho .\frac{4}{3}\pi.r^{3}}{\varepsilon_0} \Rightarrow E=\frac{\rho .r}{3\varepsilon_0}[/math]b) r>R
Điện thông qua mặt Gauss: [tex]\phi =E.S'=E.4\pi.r^{2}[/tex] (3)
Theo định lý O-G: [tex]\phi=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_i=\frac{1}{\varepsilon_0}.\sum \rho .V=\frac{\rho .\frac{4}{3}\pi.R^{3}}{\varepsilon_0}[/tex] (4)
Từ (3) và (4), ta có:
[math]E.4\pi.r^{2}=\frac{\rho .\frac{4}{3}\pi.R^{3}}{\varepsilon_0} \Rightarrow E=\frac{\rho .R^{3}}{3\varepsilon_0r^{2}}[/math]
Câu 3:
Cho mặt Gauss là một hình trụ đồng trục với dây dẫn, 2 đáy hình tròn bán kính r, chiều cao h.
Điện thông qua mặt Gauss: [tex]\phi =\phi 1+\phi 2[/tex]
Điện thông qua mặt bên:[tex]\phi 1=\sum E.S.cos\alpha 1=ES=E.2\pi.r.h[/tex]
Điện thông qua 2 đáy: [imath]\phi 2=0\Rightarrow \phi =E.2\pi.r.h[/imath] (1)
Theo định lý O-G: [tex]\phi=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_i=\frac{1}{\varepsilon_0}.\sum \lambda .h=\frac{\lambda h}{\varepsilon_0}[/tex] (2)
Từ (1) và (2), ta có:
[math]E.2\pi.r.h=\frac{\lambda h}{\varepsilon_0}\Rightarrow E=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0r}[/math]
IV. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Một vỏ cầu bán kính trong R1, bán kính ngoài R2 mang điện tích Q phân bố đều theo thể tích. Tính cường độ điện trường tại nơi cách tâm quả cầu đoạn r (3 trường hợp).

Câu 2: Hai mặt phẳng rộng vô hạn, đặt song song với nhau, được tích điện đều trái dấu với mật độ điện mặt [imath]\sigma[/imath] và [imath]-\sigma[/imath]. Xác định cường độ điện trường tổng hợp [imath]\vec{E}[/imath] do hai mặt đó gây ra.

Câu 3: Cho điện tích dương q=1nC.
a) Đặt điện tích q tại tâm hình lập phương cạnh a=10cm. Tính điện thông qua từng mặt của hình lập phương đó. Nếu bên ngoài hình lập phương còn có các điện tích khác, thì điện thông qua từng mặt của hình lập phương và qua toàn bộ hình lập phương có thay đổi không?
b) Đặt điện tích q tại một đỉnh của hình lập phương nói trên. Tính điện thông qua từng mặt hình lập phương.

 

[0102yenlyk5]

Cũng đã một tuần rồi nhỉ? Chẳng ai quan tâm topic này cả nên là cũng chẳng có ai thèm giải, rầu gì đâu . Thôi thì hôm này mình sẽ đăng đáp án lên nhé bonus thêm một số bài tập vận dụng của phần này.

Câu 1:
Cho mặt Gauss là một hình trụ có 2 đáy hình tròn diện tích S có cường độ điện trường đi qua, mặt Gauss có chứa điểm cách mặt phẳng đoạn h.
Điện thông qua mặt Gauss: [tex]\phi =\phi 1+\phi 2[/tex]
Điện thông qua hai đáy: [tex]\phi 1=\sum E.S.cos\alpha 1=2ES[/tex]
Điện thông qua hai mặt bên: [TEX]\phi 2=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \phi =2ES[/TEX] (1)
Theo định lý O-G: [tex]\phi=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_i=\frac{1}{\varepsilon_0}.\sum \sigma .S=\frac{\sigma S}{\varepsilon_0}[/tex] (2)
Từ (1) và (2), ta có:
[TEX]2ES=\frac{\sigma S}{\varepsilon_0}\Rightarrow E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}[/TEX]

Câu 2:
Gọi điểm M là điểm cách quả cầu 1 đoạn r.
Đường sức điện trường hướng dọc theo bán kính của quả cầu.
Cho mặt Gauss là mặt cầu đồng tâm với quả cầu tích điện ban đầu.
a) r<R
Điện thông qua mặt Gauss: [tex]\phi =E.S'=E.4\pi.r^{2}[/tex] (1)
Theo định lý O-G: [tex]\phi=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_i=\frac{1}{\varepsilon_0}.\sum \rho .V'=\frac{\rho .\frac{4}{3}\pi.r^{3}}{\varepsilon_0}[/tex] (2)
Từ (1) và (2), ta có:
[TEX]E.4\pi.r^{2}=\frac{\rho .\frac{4}{3}\pi.r^{3}}{\varepsilon_0} \Rightarrow E=\frac{\rho .r}{3\varepsilon_0}[/TEX]
b) r>R
Điện thông qua mặt Gauss: [tex]\phi =E.S'=E.4\pi.r^{2}[/tex] (3)
Theo định lý O-G: [tex]\phi=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_i=\frac{1}{\varepsilon_0}.\sum \rho .V=\frac{\rho .\frac{4}{3}\pi.R^{3}}{\varepsilon_0}[/tex] (4)
Từ (3) và (4), ta có:
[TEX]E.4\pi.r^{2}=\frac{\rho .\frac{4}{3}\pi.R^{3}}{\varepsilon_0} \Rightarrow E=\frac{\rho .R^{3}}{3\varepsilon_0r^{2}}[/TEX]

Câu 3:
Cho mặt Gauss là một hình trụ đồng trục với dây dẫn, 2 đáy hình tròn bán kính r, chiều cao h.
Điện thông qua mặt Gauss: [tex]\phi =\phi 1+\phi 2[/tex]
Điện thông qua mặt bên:[tex]\phi 1=\sum E.S.cos\alpha 1=ES=E.2\pi.r.h[/tex]
Điện thông qua 2 đáy: [TEX]\phi 2=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \phi =E.2\pi.r.h[/TEX] (1)
Theo định lý O-G: [tex]\phi=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_i=\frac{1}{\varepsilon_0}.\sum \lambda .h=\frac{\lambda h}{\varepsilon_0}[/tex] (2)
Từ (1) và (2), ta có:
[TEX]E.2\pi.r.h=\frac{\lambda h}{\varepsilon_0}\Rightarrow E=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0r}[/TEX]

IV. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Một vỏ cầu bán kính trong R1, bán kính ngoài R2 mang điện tích Q phân bố đều theo thể tích. Tính cường độ điện trường tại nơi cách tâm quả cầu đoạn r (3 trường hợp).

Câu 2: Hai mặt phẳng rộng vô hạn, đặt song song với nhau, được tích điện đều trái dấu với mật độ điện mặt [TEX]\sigma[/TEX] và [TEX]-\sigma[/TEX]. Xác định cường độ điện trường tổng hợp [TEX]\vec{E}[/TEX] do hai mặt đó gây ra.

Câu 3: Cho điện tích dương q=1nC.
a) Đặt điện tích q tại tâm hình lập phương cạnh a=10cm. Tính điện thông qua từng mặt của hình lập phương đó. Nếu bên ngoài hình lập phương còn có các điện tích khác, thì điện thông qua từng mặt của hình lập phương và qua toàn bộ hình lập phương có thay đổi không?
b) Đặt điện tích q tại một đỉnh của hình lập phương nói trên. Tính điện thông qua từng mặt hình lập phương.

làm về định luật Kirchhop 2 đi ạ

 

[trà nguyễn hữu nghĩa]

làm về định luật Kirchhop 2 đi ạ

Định luật Kirchhoff mình đã có hướng dẫn cách làm rất chi tiết luôn ở ngay trong topic này nhé.
Ngoài ra cũng còn nhiều phương pháp khác bạn có thể tham khảo nè

 

[Pyrit]

ĐL Kirchoff I, II có ở Một số PP giải mạch điện không đổi rồi bạn nhé

làm về định luật Kirchhop 2 đi ạ

 

[Pyrit]

Bài tập vận dụng
Câu 1:

Cho mặt Gauss là mặt cầu đồng tâm với vỏ cầu tích điện ban đầu.
Thể tích vỏ cầu:
[tex]V=\frac{4}{3}\pi(R_2^{3}-R_1^{3})[/tex]
Mật độ điện tích khối của vỏ cầu:
[tex]\rho =\frac{Q}{V}=\frac{3Q}{4\pi (R_2^{3}-R_1^{3})}[/tex]
Trường hợp 1: r<R1<R2
Vị trí r<R1 thì q=0
[math]\frac{q}{\varepsilon_0}=4\pi r^{2}.E \Rightarrow E=0[/math]Trường hợp 2: R1<r<R2
[math]E.4\pi.r^{2}=\frac{\rho .\frac{4}{3}\pi.r^{3}}{\varepsilon_0} \Rightarrow E=\frac{\rho .r}{3\varepsilon_0}[/math]Trường hợp 3: r>R2
[math]E.4\pi.r^{2}=\frac{\rho .\frac{4}{3}\pi.R_2^{3}}{\varepsilon_0} \Rightarrow E=\frac{\rho .R_2^{3}}{3\varepsilon_0r^{2}}[/math]

 

[khoanguyen1511kg@gmail.com]

bạn có thể chứng minh giúp mình phần định lý O - G được không?

 

[Pyrit]

bạn có thể chứng minh giúp mình phần định lý O - G được không?

Đối với định lý O-G cho chân không ta sẽ chọn một điện tích điểm dương q. Xét vùng bao quanh điện tích đó là một mặt cầu S có bán kính R, tâm là điện tích điểm q.
Từ thông đi qua mặt cầu S đó:
[tex]\Phi =E.S.cos\alpha=E.4\pi .R^2[/tex]
Mà [tex]E=\frac{|q|}{4\pi \varepsilon_0 .R^2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \Phi=\frac{|q|}{4\pi .\varepsilon_0.R^2}.4\pi.R^2=\frac{|q|}{\varepsilon_0}[/tex]
Đối với định lý O-G cho môi trường điện môi thì có thêm hằng số điện môi là [imath]\varepsilon[/imath] với [imath]E=\frac{|q|}{4\pi \varepsilon \varepsilon_0 .R^2}[/imath], cũng xét vùng bao quanh điện tích q là một mặt cầu S, thay vào công thức tính từ thông là ra.