cho tứ giác ABCD nội tiếp có AB.CD=AD.BC.H và K theo thứ tự là trung điểm của AC,BD.Chứng minh rằng KA+KC=HB+HD
Theo đinh lí Ptoleme ta có: $AB.DC+AD.CB=AC.DB$
Mà $AB.DC=AD.CB$ nên $AB.CD=AD.CB=\dfrac{AC.DB}{2}$
$\Rightarrow AH.BD=AB.CD\Rightarrow \dfrac{AH}{CD}=\dfrac{AB}{BD}$
Xét $\Delta AHB$ và $\Delta DCB$ có
$\dfrac{AH}{CD}=\dfrac{AB}{BD}; \widehat{HAB}=\widehat{CDB}$
$\Rightarrow \Delta AHB\sim \Delta DCB$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{DB}=\dfrac{HB}{CB}\Rightarrow HB=\dfrac{AB.BC}{BD}$
cmtt ta có: $HD=\dfrac{AD.DC}{BD}$
$HB+HD=\dfrac{AB.BC+AD.DC}{BD}=\dfrac{AB.BC\sin \widehat{ABC}+AD.DC\sin \widehat{ADC}}{BD\sin \widehat{ABC}}=\dfrac{4RS_{ABCD}}{BD.AC}$
CMTT ta có: $KA+KC=\dfrac{4RS_{ABCD}}{BD.AC}$
Suy ra $HB+HD=KA+KC$
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em có thể tham khảo thêm các kiến thức tại:
https://diendan.hocmai.vn/threads/t...o-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/#post-4045397
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
