cho tam giác ABC có AB + AC=2BC và O,I theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp.M,N theo thứ tự là trung điểm AB,AC.cmr M,N,O,I cùng thuộc 1 đường tròn
Ta có: $AM + AN = BC = BM + NC $
Trên đoạn $BC$ lấy được điểm $K$ sao cho $BM = BK$
$\implies CK = CN$
Xét hai tam giác $BMI$ và $BKI$ có:
- $BM = BK$
- $\widehat{MBI} =\widehat{KBI}$
- $BI$ chung
$\implies \triangle MBI = \triangle KBI$ (c.g.c)
Suy ra $MI = IK$
Chứng minh tương tự ta có:
$IN = IH \implies IN = IM $
Trên tia $AC$ lấy điểm $H$ sao cho $AM = AH \implies \triangle AMI = \triangle AHI$ (c.g.c)
$\implies MI = IH$ và $\widehat{AMI} =\widehat{AHI}$ (1)
Mặt khác, vì $IM = IN$ nên $IN = IH$
$\implies $ Tam giác $INH$ cân tại $I$ $\implies \widehat{IHA} = \widehat{INA}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{AMI} = \widehat{INH}$
Hay tứ giác $AMIN$ nội tiếp (3) (vì góc ngoài của tứ giác bằng góc trong không kề với nó)
Ta lại có: $\widehat{AMO} = \widehat{ANO} = 90^\circ$
Suy ra: Tứ giác AMON nội tiếp (4)
Từ (3) và (4) suy ra năm điểm $A, M, N, O, I$ cùng thuộc một đường tròn.
_____
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
