Toán 8 định lí Dirichlet

[kido2006]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình tròn có bán kính n, ở đây n là số nguyên dương. Trong hình tròn có 4n đoạn thẳng đều có độ dài bẳng 1. Cho trước một đường thẳng d. Chứng minh rằng tồn tại đường thẳng d’ hoặc song song với d, hoặc là vuông góc với d sao cho d’ cắt ít nhất hai đoạn thẳng đã cho.
help me!!!

 

[Lê Tự Đông]

Kí hiệu độ dài các hình chiếu tương ứng từ đoạn thẳng thứ i đến d' và d là $a_{i}$ và $b_{i}$
Vì độ dài của mỗi đoạn thẳng bằng 1 nên
$a_{i}+b_{i}\geq 1$.
Do đó $(a_{1}+..+a_{4n})+(b_{1}+...+b_{4n})\geq 4n$.
Giả sử $a_{1}+...+a_{4n}\geq b_{1}+...+b_{4n}$ . Khi đó $a_{1}+...+a_{4n}\geq 2n$.
Tất cả các đoạn thẳng đã cho đều được chiếu xuống đoạn thẳng có độ dài 2n, bởi vì chúng đều nằm trong đường tròn bán kính n. Nếu như các hình chiếu của các đoạn thẳng đã cho lên đường thẳng d không có điểm chung, thì sẽ có bất đẳng thức $a_{1}+...+a_{4n}<2n$. Do đó trên d phải có một điểm bị các điểm của ít nhất 2 trong số các đoạn thẳng đã cho chiếu lên nó. Đường vuông góc với d tại điểm đó sẽ cắt ít nhất hai đoạn thẳng đã cho.