Toán 9 Định lí Dirichlet + Chứng minh BĐT + Chứng minh hệ thức hình học

[Nguyễn Huy Hiếu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giúp tôi với , làm ơn hãy giải thật chi tiết . a) Cho ba số thực dương a,b,c . CMR ; 1/a^3+ b^3+abc + 1/ b^3+c^3+abc + 1/c^3+a^3+abc =< 1/abc ...... b) CMR tồn tại số tự nhiên có ba dạng 1111....111 ( gồm toàn số 1 ) chia hết cho 2017....c) Cho tam giác ABC nhọn . CMR : sinA/2 x sinB/2 x sinC/2 =<1/8

 

[Nguyễn Quế Sơn]

giúp tôi với , làm ơn hãy giải thật chi tiết . a) Cho ba số thực dương a,b,c . CMR ; 1/a^3+ b^3+abc + 1/ b^3+c^3+abc + 1/c^3+a^3+abc =< 1/abc ...... b) CMR tồn tại số tự nhiên có ba dạng 1111....111 ( gồm toàn số 1 ) chia hết cho 2017....c) Cho tam giác ABC nhọn . CMR : sinA/2 x sinB/2 x sinC/2 =<1/8

c, Kẻ đường phân giác AD, BN vuông góc với AD
Ta có: [tex]sin\frac{A}{2}=\frac{BN}{AB}\leq \frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{BC}{AB+AC}[/tex]
Chứng minh tương tự rồi dùng BĐT: (a+b)(b+c)(c+a)>=8abc là được.

 

[7 1 2 5]

a)Ta thấy:[tex]x^3+y^3= (x+y)(x^2+y^2-xy)\geq (x+y)(2xy-xy)=xy(x+y)[/tex]
Áp dụng vào bài, ta có:[tex]\frac{1}{a^3+b^3+abc}\leq \frac{1}{ab(a+b)+abc}=\frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{abc(a+b+c)}[/tex]
Tương tự ta cũng có:[tex]\frac{1}{b^3+c^3+abc}\leq \frac{a}{abc(a+b+c)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\leq \frac{b}{abc(a+b+c)}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\leq \frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}=\frac{1}{abc}[/tex]
b)Cho 2018 số:1,11,111,...,1111...11(2018 số 1)
Khi chia 2018 số trên cho 2017 thì tồn tại 2 số có cùng số dư. Gọi 2 số đó là 111...11(m chữ số) và 111...11(n chữ số)
[tex]\Rightarrow \underset{m chữ số}{\underbrace{111...11}}-\underset{n chữ số}{\underbrace{111...11}}\vdots 2017\Rightarrow \underset{m-n chữ số}{\underbrace{111...11}}.\underset{n chữ số}{1\underbrace{000...00}}\vdots 2017[/tex]
Vì (1000...00,2017)=1 nên [tex]\underset{m-n chữ số}{\underbrace{111...11}}\vdots 2017[/tex](đpcm)