Toán 10 Định lí cos mở rộng với đa giác n cạnh

[System32]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chào mọi người. Ở bài viết này mình xin chia sẻ công thức mở rộng của định lí cos với đa giác n-cạnh (một "phát minh" mà tìm ra cách đây khoảng hơn 2 tháng )

Trước hết ta cùng nhắc lại định lí cos áp dụng với 1 tam giác bất kì:

Cho $$\triangle ABC$$ bất kì. Đặt $$a = BC, b = AC, c = AB$$; $$\angle A, \angle B, \angle C$$ là 3 góc lần lượt đối diện với 3 cạnh $$a, b, c$$. Định lí cos được biểu diễn bằng công thức:

$$a^{2‎} = b^{2‎} + c^{2‎} - 2bc \cdot \cos \angle A$$ ​

Nhưng liệu định lí cos này chỉ là một trường hợp đặc biệt của một định lí tổng quát hơn nào đó mà có thể áp dụng với da giác bất kì (cũng như định lí Pytago là trường hợp đặc biệt của định lý cos)? Vậy thì ta cùng thử "tìm" ra công thức tổng quát đó.


1) Nhưng trước khi thật sự bắt đầu, chúng ta hãy cùng thử đặt mình trong tình huống như thế: Giả sử ta chỉ biết đến định lý Pytago mà chưa hề biết đến định lí cos, bạn sẽ làm như thể nào để mở rộng định lí Pytago (chỉ áp dụng với tam giác vuông) thành một định lí tổng quát hơn mà có thể áp dụng với tam giác bất kì?

Ta có thể nghĩ như sau:
Nếu có 1 định lí tổng quát hơn mà có thể áp dụng với một tam giác bất kì, định lí đó chắc hẳn sẽ có dạng:

$$a^{2‎} = b^{2‎} + c^{2‎} + F$$​

($$F$$ là một biểu thức bất kì)

Ta chưa biết $$F$$ là gì, nhưng ta biết 1 điều là khi áp dụng công thức đó với tam giác vuông với $$\angle A = 90^{\circ}$$ , $$F$$ sẽ phải phải bị góc $$A$$ triệt tiêu đi. Vây F chứa cái gì mà phải bị $$\angle A$$ triệt tiêu đi? Vậy ta có thể nghĩ trước hết là $$F$$ phải chứa $$\cos \angle A$$ làm thừa số (Nếu không được thì ta có thể thử nghĩ đến $$\cot \angle A, \sin \angle 2A$$,...). Lúc này ta có thể nghĩ công thức cần tìm sẽ có thể là:

$$a^{2‎} = b^{2‎} + c^{2‎} + \cos \angle A \text{ (1)}$$​

hoặc

$$a^{2‎} = b^{2‎} + c^{2‎} + G \cdot \cos \angle A \text{ (2)}$$​

($$G$$ là 1 biểu thức bất kì)

Để thử xem $$(1)$$ có đúng không, ta thử áp dụng nó vào một vài tam giác (có thể thử với tam giác đều cho dễ) và có thể thấy là nó không hề đúng. Vậy là ta cần phải tìm xem $$G$$ là gì ở $$(2)$$ .

Một điều nữa là hệ thức cần tìm phải mang tính đẳng cấp. Nó chứa $$a^2, b^2 + c^2$$ thì G cũng phải bậc 2. Vậy G có thể sẽ là $$a^2$$ hoặc $$bc$$ hoặc $$b'c'$$ ($$b', c'$$ là 2 đường thẳng nào đó)

Ngoài tam giác vuông như trên, có tam giác nào khác mà "đặc biệt" hơn để thử không?
Đường thẳng thực chất cũng là một "tam giác đặc biệt"
Ta có thể coi đường thẳng là "tam giác" có $$\angle A = 180^{\circ}, \angle B = \angle C = 0^{\circ}$$. "Tam giác" này có tính chất đặc biệt sau:

$$a = b + c$$​

Bình phương hai vế:

$$\implies a^{2‎} = b^{2‎} + c^{2‎} + 2bc \text{ (3)}$$​

Kết hợp với $$(2)$$ ta được:

$$b^{2‎} + c^{2‎} + G \cdot \cos \angle A = b^{2‎} + c^{2‎} + 2bc$$
$$\implies b^{2‎} + c^{2‎} + G \cdot \cos 180^{\circ} = b^{2‎} + c^{2‎} + 2bc$$
$$\implies -G = 2bc$$
$$\implies G = -2bc$$​

Vậy là từ $$(2)$$ ta sẽ suy ra cái cần tìm là:

$$a^{2‎} = b^{2‎} + c^{2‎} - 2bc \cdot \cos \angle A \text{ (4)}$$​

hoặc
$$a^{2‎} = b^{2‎} + c^{2‎} - H \cdot 2bc \cdot \cos \angle A$$
($$H$$ là 1 biểu thức bất kì khác)
Thử áp dụng công thức $$(4)$$ thì ta sẽ thấy là nó đúng (đương nhiên rồi). Vậy $$(4)$$ chính là công thức cần tìm.


2) Từ cách suy luận để tìm hệ thức như trên, ta có thể áp dụng để tìm cho tứ giác và ngũ giác, rồi dựa vào những công thức đó để tìm ra định lí tổng quát cho mọi đa giác

Ta sẽ bắt đầu với tứ giác $$A_1 A_2 A_3 A_4$$, với $$\overline{A_jA_{j+1}}=a_j$$ và $$\angle A_j A_{j+1} A_{j+2} = \theta_{j}$$.

Dựa vào định lí cos với một tam giác, ta dự đoán hệ thức tổng quát cho tứ giác sẽ là:

$$a_1^2= a_2^2 + a_3^2 + a_4^2 + K \text{ (A)}$$
​

($$A$$ là 1 đa thức)
Có nhiều cách dự đoán hệ thức khác cho tứ giác này, nhưng mình sẽ chọn hệ thức này để tiếp tục.

Đa thức $$A$$ chắc chắn cũng sẽ chứa những đơn thức bậc hai, vì định lí cos mang tính đẳng cấp.

Trước hết, ta sẽ lại áp dụng hệ thức với 1 tứ giác đặc biệt, đó là hình chữ nhật ($$a_1 = a_3 = 2a;a_2 = a_4 = a$$, $$\theta_{1} = \theta_{2} = \theta_{3} = \theta_{4}$$ .
Khi đó ta có:

$$4a^2= a^2 + 4a^2 + a^2 + A$$
​

Để đẳng thức trên đúng thì $$A = -2a^2$$, nên đẳng thức trên sẽ thành:

$$4a^2= a^2 + 4a^2 + a^2 - 2a^2$$
​

Để nguyên đa thức như thế, ta hãy nghĩ xem có cách nào để biểu diễn $$-2a^2$$ sao cho nó chứa các cạnh hoặc góc của hình vuông. Vậy ta có thể nghĩ đó là:

$$a^2= a^2 + a^2 + a^2 + 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos (90^{\circ} + 90^{\circ}) \text{ (a)}$$
​

Lúc này có một câu hỏi đặt ra: Hai góc $$90^{\circ}$$ đó sẽ là hai góc nào? Hãy để ý lại đến định lí cos ở trên có chứa cos góc đối cạnh a, hoặc nói cách khác là các góc kề cạnh ta đang muốn tính sẽ không có trong hệ thức. Vậy ở $$(a)$$ sẽ không có 2 góc $$\theta_{1}$$ và $$\theta_{4}$$ hay hai góc $$90^{\circ}$$ đó sẽ $$\theta_{2}$$ và $$\theta_{3}$$.
Còn 2 cạnh a kia chắc chắn sẽ là $$a_{2}$$ và $$a_{4}$$.
Vậy ta viết lại $$(A)$$ thành:

$$a_1^2= a_2^2 + a_3^2 + a_4^2 + 2 \cdot a_2 \cdot a_4 \cdot \cos (\theta_{2} + \theta_{3}) + K' \text{ (A)}$$
​

Tiếp tục áp dụng công thức trên với một tứ giác đặc biệt khác, ta sẽ tìm được hệ thức đối với tứ giác (dài quá nên không định viết tiếp, các bạn tự thử xem nhé) :

Spoiler

$$a_1^2=a_2^2+a_3^2+a_4^2-2a_{2}a_{3}\cos(\theta_2)+2a_{2}a_{4}\cos(\theta_2+\theta_3)-2a_{3}a_{4}\cos(\theta_3)$$

3) Tiếp tục với ngũ giác thì hệ thức sẽ là:

$$a_1^2=a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2-2a_{2}a_{3}\cos(\theta_2)+2a_{2}a_{4}\cos(\theta_2+\theta_3)-2a_{2}a_{5}\cos(\theta_2+\theta_3+\theta_4)-2a_{3}a_{4}\cos(\theta_3)+2a_{3}a_{5}\cos(\theta_3+\theta_4)-2a_{4}a_{5}\cos(\theta_4)$$

Từ 3 công thức, ta có thể dự đoán hệ thức tổng quát cho đa giác $$A_1A_2\cdots A_n$$:

Spoiler

$$\color{red}{a_1^2=\sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1}^2+\sum_{1\le p\lt q\le n-1}2(-1)^{p+q}a_{p+1}a_{q+1}\cos\bigg(\sum_{j=p+1}^{q}\theta_j\bigg)}$$

Đây chính là "Định lí cos" mở rộng, áp dụng được cho mọi đa giác. Nếu rảnh thì mọi người có thể thử kiểm chứng công thức và chứng minh.

Trên đây chỉ là cách mà mình mở rộng một hệ thức cho trước. Bằng việc mò mẫm, áp dụng trường hợp riêng, dự đoán và thử, ta đã mở rộng được 1 định lí.

Mình xin dừng tại đây nhé. Dài quá nên mình để lại một phần cho bạn đọc tự tìm hiểu