Điều mình mới phát hiện trong tam giác

M

minhphatad

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Lời nói đầu: Trong giờ học toán bài nói về trọng tâm trong tam giác, đang có hứng, lấy giấy ra vẽ thử thì bất ngờ phát hiện điều này.




Có thể các bạn đã biết trong tam giác có 3 loại điểm khá đặc biệt:

I: Trọng Tâm

Là giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác.

Đường trung tuyến của tam giác là đường nối từ đỉnh này tới trung điểm cạnh đối diện trong tam giác.

VD: Trong hình bên có: trọng tâm G, 3 đường trung tuyến f, e, d.

picture.php


II: Giao Điểm 3 Đường Cao

Là giao điểm của ba đường cao trong tam giác.

VD: Trong hình dưới có: D là trọng tâm của ba đường cao.

picture.php


III: Giao Điểm 3 Đường Trung Trực

Là giao điểm của 3 đường trung trực trong tam giác.

VD: Trong hình dưới có: D là giao điểm 3 đường trung trực.

picture.php


Giờ mình sẽ gộp cả ba loại điểm này vào trong 1 hình tam giác:

Hình dưới có: trọng tâm G; I là giao điểm của 3 đường cao; H là giao điểm của 3 đường trung trực.

picture.php


Nhìn hơi lộn xộn phải không. Giờ mình sẽ lược bỏ tất cả, chỉ giữ lại 3 điểm G, I và H. Xong mình sẽ nối từ I -> H như sau:

picture.php


Thật kì diệu, điểm G đã nằm trên đoạn thẳng IH. Mình đã thử vẽ như vậy trên tất cả các loại tam giác khác khác bằng Geogebra, và kết quả vẫn là : I, H, G (ba loại điểm mình đã nói trên) là ba điểm thẳng hàng.

Dù đã phát hiện ra điều này nhưng chưa biết cách chứng minh, nhờ mấy bạn chứng minh giùm hoặc góp y gì đó giùm.
 
H

huuhuantutin

Đây là đường thẳng Ơ-le mà còn có tính chất :
3OG=OH
H là giao của 3 đường trung trực
G là trọng tâm của tam giác
I là trực tâm của tam giác
 
T

thangvegeta1604

Đường thẳng nối 3 điểm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp (giao điểm 3 đường trung trực) gọi là đường thẳng Ơ-le. Cái này ở trong SGK toán 7 cuối chương 3 cũng có nói tới mà, bạn lật ra coi thử xem.
 
M

manhnguyen0164

thangvegeta1604 said:
Đường thẳng nối 3 điểm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp (giao điểm 3 đường trung trực) gọi là đường thẳng Ơ-le. Cái này ở trong SGK toán 7 cuối chương 3 cũng có nói tới mà, bạn lật ra coi thử xem.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Cái này cũng giống như là bài chứng minh ba điểm H,G,O thẳng hàng (H là trực tâm, G là trọng tâm, O là điểm cách đều ba đỉnh)
C/m: Xét tam giác ABC có H là trực tâm, G là trọng tâm, O là điểm cách đều ba đỉnh . Gọi M là trung điểm BC.Trên tia đối của tia OA lấy điểm D sao cho OD = OA.
Ta có OA=OC \Rightarrow tam giác OAC cân tại O \Rightarrow \{OAC}=\{OCA} và OC=OD \Rightarrow tam giác OCD cân tại O \Rightarrow \{OCD}=\{ODC}
Ta có : \{OAC}+\{ODC}=\{OCA}+\{OCD}=\{ACD}
\Rightarrow \{ACD} = 90 độ
Ta có: BH vuông góc với AC ( H là trực tâm), DC vuông góc với AC (\{ACD}=90 độ) do đó BD song song với DC . Tương tự DB song song với CH
tam giác BHC=tam giác CDB (c.g.c) \Rightarrow BH=CD
tam giác MBH=tam giác MCD (c.g.c)
từ đó có MH=MD ; H,M,D
Đến đây ta có thể chứng minh tiếp HG=2GO
Xét tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, G là trọng tâm \Rightarrow G thuộc đoạn AM và AG=\frac{2}{3}AM
Xét tam giác AHD có AM là trung tuyến, G thuộc đoạn thẳng AM và AG=\frac{2}{3}AM \Rightarrow G là trọng tâm tam giác AHD
Mà HO là đường trung tuyến của tam giác AHD
Do vậy HO đi qua G và HG=2GO
 
B

binhlblb123

Giao điểm của 3 đường trung tuyến còn gọi là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
 
D

duc_2605

Đây là đường thẳng Ơ le. ĐI thi học sinh giỏi có khả năng bạn sẽ phải cm cái này.
Đề bài:
Cho tam giác ABC. Gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm và giao điểm 3 đường trung trực trong tam giác. CMR:
a) AH = 2 lần khoảng cách từ O đến BC
b) H,G,O thẳng hàng và GH = 2GO

Ngày 5/5 bạn tham gia event mê cung kì bí của mình nhé! Mình sẽ cho chứng minh

@nhuquynh: đợi đến lúc cái event của e mở cửa chắc còn lâu :))
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom