Toán Điểm rơi Cô - si

[Thoòng Quốc An]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho phương trình [tex]x^{2}-2x+4a=0[/tex] ( x là ẩn số ). Giả sử hai nghiệm [tex]x_{1},x_{2}[/tex] của phương trình là số đo hai cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông.
a) Tìm các giá trị của a để diện tích của tam giác vuông bằng [tex]\frac{1}{3}[/tex] ( đơn vị diện tích )
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [tex]A= x_{1}x_{2}+\frac{4}{x_{1}x_{2}}[/tex]
Điểm rơi Cô - si là gì giải thích và ứng dụng chỉ mình nha! Cảm ơn @iceghost

 

[iceghost]

ĐK : $\Delta' = 1 - 4a \geqslant 0 \iff a \leqslant \dfrac14$
a) Theo định lý Vi-ét : $x_1 + x_2 = 2$ và $x_1x_2 = 4a$
Để diện tích tam giác vuông bằng $\dfrac13$ thì $\dfrac12 \cdot x_1x_2 = \dfrac13 \iff \dfrac12 \cdot 4a = \dfrac13 \iff a = \dfrac16$ (N)
Vậy ...
b) $a$ dương nữa nhỉ ?
Điểm rơi chỉ đơn giản là cách gọi màu mè của giá trị của biến khi dấu bằng xảy ra
Ví dụ, lấy biểu thức $A$ chẳng hạn. Nhiều bạn sẽ áp dụng bđt Cô-si và ra được $A \geqslant 4$. Tưởng chừng như đúng, ai dè dấu '=' xảy ra khi $x_1x_2 = \dfrac{4}{x_1x_2}$ hay $x_1x_2 = 4a = 2 \iff a = \dfrac12$. Rõ ràng $a = \dfrac12 > \dfrac14$ nên không thể nhận $a = \dfrac12$. Lúc đó dấu bằng không xảy ra, nôm na là trật điểm rơi, dẫn đến $4$ chưa phải là giá trị nhỏ nhất của $A$.
Thế làm thế nào mới đúng ? Ta làm như sau
Giải. Áp dụng bđt Cô-si với $0 < a \leqslant \dfrac14$
$$A = 4a + \dfrac{4}{4a} =4a + \dfrac1{a} = (16a + \dfrac1{a}) - 12a \geqslant 2\sqrt{16a \cdot \dfrac1{a}} - 12 \cdot \dfrac14 = 5$$
Vậy $A_\text{min} = 5$. Dấu '=' xảy ra tại $16a = \dfrac1{a}$ và $a = \dfrac14 \iff a = \dfrac14$ (nhận)