$\dfrac{|a-b|}{\sqrt{2ab+c^2}}+\dfrac{|b-c|}{\sqrt{2bc+a^2}}+\dfrac{|c-a|}{\sqrt{2ca+b^2}}\ge2$

thinhrost1 · 28 Tháng mười hai 2014

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa: $a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ac)$ và $abc \ne 0$.

Chứng minh rằng: $\dfrac{|a-b|}{ \sqrt{ 2ab+c^2 } }+\dfrac{|b-c|}{ \sqrt{ 2bc+a^2 } }+\dfrac{|c-a|}{ \sqrt{ 2ca+b^2 } }\ge2$

chonhoi110 · 2 Tháng một 2015

Ta có $2ab=a^2+b^2+c^2-2(ac+bc) \Longrightarrow c^2+2ab=(c-a)^2+(c-b)^2$

$\Longrightarrow \sum \dfrac{|a-b|}{ \sqrt{ 2ab+c^2 }}=\sum \sqrt{\dfrac{(a-b)^2}{ (c-a)^2+(c-b)^2 }}=P$

$((a-b)^2, (c-a)^2, (c-b)^2)=(x,y,z) \Longrightarrow P=\sum \sqrt{\dfrac{x}{ y+z }} =\sum \dfrac{x}{\sqrt{x(y+z)}} \ge \sum \dfrac{2x}{x+y+z}=2$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=4b=4c$ và các hoán vị

Tìm kiếm

Tìm kiếm

$\dfrac{|a-b|}{\sqrt{2ab+c^2}}+\dfrac{|b-c|}{\sqrt{2bc+a^2}}+\dfrac{|c-a|}{\sqrt{2ca+b^2}}\ge2$

thinhrost1

chonhoi110