$\dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1})< \dfrac{a+b}{a+1+b}<\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}$

[phuclatuithui]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với $a, b>0$. CMR: $\dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1})< \dfrac{a+b}{a+1+b}<\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}$

 

[harry9xsakura]

vì a, b > 0
Nên ab>0
\Rightarrow ab + a + b < 2ab + a + b
\Rightarrow \frac{ab+a+b}{ab+a+b+1} < \frac{2ab+a+b}{ab+a+b+1} (1)
xét 1 - \frac{ab+a+b}{ab+a+b+1} = \frac{1}{a+b+1}
1 - \frac{a+b}{a+b+1} = \frac{1}{a +b+1}
mà \frac{1}{a+b+1} > \frac{1}{ab+a+b+1}
Nên \frac{a+b}{a+b+1} < \frac{ab+a+b}{ab+a+b+1} (2)
Từ (1) và (2) ta có :
\frac{a+b}{a+b+1} < \frac{2ab+a+b}{ab+a+b+1}
:khi (34)::khi (31):