- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Câu hỏi đặt ra là: khi ta đã giải được các họ nghiệm của 1 pt lượng giác, vậy trên khoảng (a;b) thì pt lượng giác đó có bao nhiêu nghiệm?
1. Cho phương trình: [TEX]cos3x-4cos2x+3cosx-4=0 (1)[/TEX]. Hỏi trên khoảng (0;20) pt bên có bao nhiêu nghiệm?
Lời giải:
* Giải pt, dễ thấy khi sử dụng công thức nhân đôi và nhân ba thì ta sẽ đưa được pt đã cho về pt bậc 3 của cosx.
[TEX](1)<=>4cos^3x-3cosx-4(2cos^2x-1)+3cosx-4=0<=>4cos^3x-8cos^2x=0[/TEX]
[TEX]<=>cos^2x(cosx-2)=0<=>cosx=0[/TEX] hoặc [TEX]cosx=2[/TEX](loại)
Với [TEX]cosx=0[/TEX] ta được họ nghiệm là: [tex]x=k2\pi (k\epsilon Z)[/tex]
Để các nghiệm thuộc khoảng đã cho, ta phải có :
[tex]0<\frac{\pi }{2}+k\pi <20<=>\frac{-\pi }{2}-0.5[/tex]
Do k nguyên nên k = 0,1,2,3,4,5
Vậy pt đã cho có 6 nghiệm trên khoảng (0;20)
Đây là cách làm chung của dạng bài này, đưa bất phương trình và giải để tìm khoảng giá trị của k.
Tuy nhiên với nhiều bài ta còn phải loại các nghiệm trùng nhau, hoặc nghiệm không thỏa mãn điều kiện xác đinh. Xem ví dụ sau:
2. Phương trình : [tex]1+cot2x=\frac{1-cos2x}{sin^22x}[/tex] có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;30)
Lời giải:
PT<=>[tex]1+\frac{cos2x}{sin2x}=\frac{1-cos2x}{sin^22x}[/tex](1)
ĐKXĐ: [tex]sin2x\neq 0<=>2x \neq k\pi <=>x\neq \frac{k\pi }{2}[/tex]
(1)<=>[tex]1+\frac{cos2x}{sin2x}=\frac{1-cos2x}{1-cos^22x}<=>1+\frac{cos2x}{sin2x}=\frac{1-cos2x}{(1+cos2x)(1-cos2x)}[/tex]
<=>[tex]1+\frac{cos2x}{sin2x}=\frac{1}{1+cos2x}<=>\frac{cos2x}{sin2x}=\frac{-cos2x}{1+cos2x}[/tex]
<=>[tex]cos2x(1+cos2x)=-sin2xcos2x<=>cos2x(1+sin2x+cos2x)=0[/tex]
<=> [TEX]cos2x=0[/TEX] hoặc [TEX]1+sin2x+cos2x=0[/TEX]
*[tex]cos2x=0<=>x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}(k\epsilon Z)[/tex]
* [tex]1+sin2x+cos2x=0<=>\sqrt{2}sin(2x+\frac{\pi }{4})=-1<=>sin(2x+\frac{\pi }{4})=\frac{-1}{\sqrt{2}}[/tex]
<=>[tex]x=\frac{-\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}[/tex] hoặc [tex]x=\frac{-\pi }{2}+k\frac{\pi }{2}[/tex]
Với họ nghiệm [TEX]x=\frac{-\pi }{2}+k\frac{\pi }{2}[/TEX], dễ dàng thấy nó không thỏa mãn ĐKXĐ
2 họ nghiệm còn lại : [TEX]x=\frac{-\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}[/TEX] và [TEX]x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}[/TEX], ta kết hợp được 1 họ nghiệm duy nhất, đó là : [TEX]x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}[/TEX] ( cách kết hợp: biểu diễn nhanh tất cả các nghiệm của từng họ trong 1 đường tròn hoặc liệt kê phần tử, ta sẽ thấy cả 2 họ này cho 4 nghiệm trùng nhau, nên kết hợp lại chỉ cần 1 họ là đủ)
Do đó: [tex]0<\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}<30<=>-0,5<k<18,59[/tex] => k=0,1,2....18
Có tổng cộng 19 giá trị của k => PT có 19 nghiệm trong khoảng (0;30).
1. Cho phương trình: [TEX]cos3x-4cos2x+3cosx-4=0 (1)[/TEX]. Hỏi trên khoảng (0;20) pt bên có bao nhiêu nghiệm?
Lời giải:
* Giải pt, dễ thấy khi sử dụng công thức nhân đôi và nhân ba thì ta sẽ đưa được pt đã cho về pt bậc 3 của cosx.
[TEX](1)<=>4cos^3x-3cosx-4(2cos^2x-1)+3cosx-4=0<=>4cos^3x-8cos^2x=0[/TEX]
[TEX]<=>cos^2x(cosx-2)=0<=>cosx=0[/TEX] hoặc [TEX]cosx=2[/TEX](loại)
Với [TEX]cosx=0[/TEX] ta được họ nghiệm là: [tex]x=k2\pi (k\epsilon Z)[/tex]
Để các nghiệm thuộc khoảng đã cho, ta phải có :
[tex]0<\frac{\pi }{2}+k\pi <20<=>\frac{-\pi }{2}-0.5[/tex]
Do k nguyên nên k = 0,1,2,3,4,5
Vậy pt đã cho có 6 nghiệm trên khoảng (0;20)
Đây là cách làm chung của dạng bài này, đưa bất phương trình và giải để tìm khoảng giá trị của k.
Tuy nhiên với nhiều bài ta còn phải loại các nghiệm trùng nhau, hoặc nghiệm không thỏa mãn điều kiện xác đinh. Xem ví dụ sau:
2. Phương trình : [tex]1+cot2x=\frac{1-cos2x}{sin^22x}[/tex] có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;30)
Lời giải:
PT<=>[tex]1+\frac{cos2x}{sin2x}=\frac{1-cos2x}{sin^22x}[/tex](1)
ĐKXĐ: [tex]sin2x\neq 0<=>2x \neq k\pi <=>x\neq \frac{k\pi }{2}[/tex]
(1)<=>[tex]1+\frac{cos2x}{sin2x}=\frac{1-cos2x}{1-cos^22x}<=>1+\frac{cos2x}{sin2x}=\frac{1-cos2x}{(1+cos2x)(1-cos2x)}[/tex]
<=>[tex]1+\frac{cos2x}{sin2x}=\frac{1}{1+cos2x}<=>\frac{cos2x}{sin2x}=\frac{-cos2x}{1+cos2x}[/tex]
<=>[tex]cos2x(1+cos2x)=-sin2xcos2x<=>cos2x(1+sin2x+cos2x)=0[/tex]
<=> [TEX]cos2x=0[/TEX] hoặc [TEX]1+sin2x+cos2x=0[/TEX]
*[tex]cos2x=0<=>x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}(k\epsilon Z)[/tex]
* [tex]1+sin2x+cos2x=0<=>\sqrt{2}sin(2x+\frac{\pi }{4})=-1<=>sin(2x+\frac{\pi }{4})=\frac{-1}{\sqrt{2}}[/tex]
<=>[tex]x=\frac{-\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}[/tex] hoặc [tex]x=\frac{-\pi }{2}+k\frac{\pi }{2}[/tex]
Với họ nghiệm [TEX]x=\frac{-\pi }{2}+k\frac{\pi }{2}[/TEX], dễ dàng thấy nó không thỏa mãn ĐKXĐ
2 họ nghiệm còn lại : [TEX]x=\frac{-\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}[/TEX] và [TEX]x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}[/TEX], ta kết hợp được 1 họ nghiệm duy nhất, đó là : [TEX]x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}[/TEX] ( cách kết hợp: biểu diễn nhanh tất cả các nghiệm của từng họ trong 1 đường tròn hoặc liệt kê phần tử, ta sẽ thấy cả 2 họ này cho 4 nghiệm trùng nhau, nên kết hợp lại chỉ cần 1 họ là đủ)
Do đó: [tex]0<\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}<30<=>-0,5<k<18,59[/tex] => k=0,1,2....18
Có tổng cộng 19 giá trị của k => PT có 19 nghiệm trong khoảng (0;30).
