Đáp án đầy đủ chi tiết:
Câu 1:
1. [tex]\frac{26x+5}{\sqrt{x^2+30}}+2\sqrt{26x+5}=3\sqrt{x^2+30}[/tex]
Điều kiện: [tex]x\geq \frac{-5}{26}[/tex]
Biến đổi phương trình:
[tex]26x+5+2\sqrt{26x+5}\sqrt{x^2+30}-3(x^2+30)=0[/tex]
<=>[tex](\sqrt{26x+5}+3\sqrt{x^2+30})(\sqrt{26x+5}-\sqrt{x^2+30})=0[/tex]
Do [TEX]\sqrt{26x+5}+3\sqrt{x^2+30}>0[/TEX] với mọi x thuộc ĐKXĐ
Nên pt <=> [tex]\sqrt{26x+5}=\sqrt{x^2+30}<=>x^2-26x+25=0<=>x=0[/tex](thỏa mãn) , hoặc [TEX]x=25[/TEX](thỏa mãn)
Vậy pt có 2 nghiệm: x=1 hoặc x=25
2.
[tex]\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2(1)\\ (x+2y)(2+3y^2+4xy)=27(2) \end{matrix}\right.[/tex]
Thế (1) vào (2) ta được:
[TEX](x+2y)(x^2+y^2+3y^2+4xy)=27<=>(x+2y)(x^2+4xy+4y^2)=27[/TEX]
[TEX]<=>(x+2y)^3=27<=>x+2y=3<=>x=3-2y[/TEX]
Thế vào (1) được pt:
[TEX](3-2y)^2+y^2=2<=>5y^2-12y+7=0<=>y=1[/TEX] hoặc [tex]y=\frac{7}{5}[/tex]
Vậy hệ có các nghiệm (x;y): (1;1) , [tex](\frac{1}{5},\frac{7}{5})[/tex]
Câu 2:
1. Từ pt ta có: [tex](3x-1)\vdots (x^2-x+1)[/tex]
Do đó: [tex](3x-2)(3x-1)\vdots (x^2-x+1)<=>(9x^2-9x+2)\vdots (x^2-x+1)<=>9(x^2-x+1)-7\vdots (x^2-x+1)<=>7\vdots (x^2-x+1)[/tex]
Từ đó ta có: [TEX]x^2-x+1[/TEX] phải là các ước của 7
Do [TEX]x^2-x+1>0[/TEX] nên ta có 2 trường hợp:
[TEX]x^2-x+1=1<=>x=0[/TEX] hoặc [TEX]x=1[/TEX]
+Với x=0, thay vào được pt : [TEX]y^2=-1[/TEX] ( vô nghiệm )
+ Với x=1, thay vào được pt: [TEX]y^2+y=2<=>y=1;y=-2[/TEX]
Trường hợp :
[TEX]x^2-x+1=7<=>x^2-x-6=0<=>x=-2;x=3[/TEX]
+Với x=-2 thay vào được pt: [TEX]7(y^2-2y)=-7<=>y^2-2y+1=0<=>y=1[/TEX]
+Với x=3 ta được pt: [TEX]7(y^2+3y)=8[/TEX] không có nghiệm nguyên
Vậy pt có các cặp nghiệm nguyên (x;y) : (1;1),(1;-2),(-2,1)
2.
Ta có: [TEX]xy+2 \geq 2y <=>xy \geq 2(y-1)[/TEX]<=>[tex]x\geq \frac{2(y-1)}{y} \geq 0[/tex]
<=>[tex]x^2\geq \frac{4(y-1)^2}{y^2}[/tex]
=> [tex]M\geq \frac{\frac{4(y-1)^2}{y^2}+4}{y^2+1}=\frac{4(2y^2-2y+1)}{y^2(y^2+1)}[/tex]
Ta chứng minh: [TEX]\frac{4(2y^2-2y+1)}{y^2(y^2+1)} \geq \frac{1}{4}[/TEX]
<=>[TEX]8y^2-8y+4 \geq y^4+y^2<=>y^4-7y^2+8y-4 \leq 0[/TEX]
<=>[TEX](y-2)(y^3+2y^2-3y+2) \leq 0[/TEX]
Do [TEX]1 \leq y \leq 2 => y-2 \leq 0[/TEX]
[TEX]y^3+2y^2-3y+2=y(y-1)(y+3)+2>0[/TEX] luôn đúng với y thuộc khoảng
Vậy điều cần chứng minh là đúng
=> Min M=1 . Dấu "=" khi y=2,x=1
Câu 3:
1. Do O là tâm nội tiếp hình vuông ABCD nên O là giao của AC và BD. Lại có (O) tiếp xúc AB tại E và AD tại F nên OE [TEX]\perp[/TEX] AB và OF [TEX]\perp[/TEX] AD
Xét tam giác OAB cân tại O có OE là đường cao nên cũng là trung tuyến=> E là trung điểm AB.
Tương tự F là trung điểm AD
Xét tam giác ABF vuông tại A và tam giác BCE vuông tại B, có AB=BC, AF=BE(nửa cạnh hình vuông)
=> [tex]\Delta ABF=\Delta BCE(c-g-c)=>\widehat{ABF}=\widehat{BCE}=90^o-\widehat{BEC}[/tex]
=>[tex]90^o=\widehat{ABF}+\widehat{BEC}=\widehat{EGF}[/tex](góc ngoài)
Lại có: [tex]\widehat{EAF}=90^o=>\widehat{EGF}+\widehat{EAF}=180^o[/tex]
=>E,A,G,F cùng thuộc một đường tròn
Mà [tex]\widehat{AEO}+\widehat{AFO}=180^o[/tex] nên A,E,O,F cùng thuộc một đường tròn
=> 5 điểm A,E,F,G,O cùng thuộc 1 đường tròn
2. [tex]\widehat{EMF}=\frac{1}{2}\widehat{EOF}=45^o[/tex]
Mà [tex]\widehat{AGF}=\widehat{AEF}=45^o[/tex]
=> [tex]\widehat{EMF}=\widehat{AGF}=>EM//AG[/tex]
Do E là trung điểm AB nên M là trung điểm BG
3. Gọi H là trực tâm tam giác AGF
Do AH[TEX]\perp[/TEX] FG và EG [TEX]\perp[/TEX] FG nên AH//EG
Tương tự AE//HG, do đó tứ giác AEGH là hình bình hành
Do đó gọi I là giao điểm EH và AG thì I là trung điểm AG
Xét tam giác ABG có IE là đường trung bình nên IE//BF , suy ra tứ giác EHFM là hình thang
Mà FH [TEX]\perp[/TEX] AG nên [tex]\widehat{HFG}=90^o-\widehat{AFG}=45^o=\widehat{EMF}[/tex]
=>Tứ giác EHFG là hình thang cân
Do đó EHFG là một tứ giác nội tiếp => H thuộc (O)
Câu 4:
Đầu tiên ta chứng minh: [tex]\sum \frac{1}{1+x^2}\geq (\sum \frac{x}{\sqrt{1+x^2}})^2[/tex] (*)
<=>[tex]\sum \frac{1}{(x+y)(x+z)}\geq (\sum \frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}})^2[/tex]
<=>[tex]\frac{2\sum x}{(x+y)(x+z)(y+z)}\geq \frac{(\sum x\sqrt{y+z})^2}{(x+y)(y+z)(x+z)}[/tex]
<=>[TEX]2\sum x \geq (\sum x\sqrt{y+z})^2 [/TEX]
Áp dụng Bunhia copxki ta có: [tex](\sum x\sqrt{y+z})^2=(\sum \sqrt{x}.\sqrt{xy+xz})^2\leq \sum x.\sum (xy+xz)=2\sum x[/tex]
Vậy (*) được chứng minh.
Mặt khác, ta có:
[tex]\sum \frac{ x}{\sqrt{1+x^2}}=\sum \frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}=\sum \sqrt{\frac{x}{x+y}}\sqrt{\frac{x}{x+z}}\leq \frac{1}{2}\sum (\frac{x}{y+z}+\frac{x}{x+z})=\frac{3}{2}[/tex]
=>[tex]\sum \frac{1}{1+x^2}\geq (\sum \frac{x}{\sqrt{1+x^2}})^2[/tex] và [tex]\frac{3}{2}\geq \sum \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}[/tex]
Nhân vế với vế ta được điều phải chứng minh.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
