Đề toán chuyên thành phố Hà Nội

[shayneward_1997]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:
1,Cmr: với số nguyên n thì: [TEX]n^5+5n^3-6n[/TEX] chia hết cho 30
2,Giả sử n là số tự nhiên sao cho: n(n+1)+6 không chia hết cho 3.
Cmr: [TEX]2n^2+n+8[/TEX] không là số chính phương

Bài 2:

1,Giải hệ: (không biết gõ latex nên đành chịu,đằng nào nó cũng dễ)
2,Cho x,y,z thỏa mãn: [TEX]x^2+y^2+z^2=2012[/TEX]
Tìm Min của:M=2xy-yz-zx

Bải 3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O;R):A di động,BC cố định.Đường cao AD trực tâm H.

a,Đường thẳng chứa phân giác ngoài của gócBHC cắt AB,AC tại M,N
Cmr: tam giác AMN cân

b,DE,DF vuông góc BH,CH.
Cmr:AO vuông góc EF

c,(AMN) cắt phân giác trong góc BAC tại K.
Cmr: HK đi qua điểm cố định

Bài 4:Giải phương trình nghiệm nguyên dương:
(x+1)(y+z)=xyz+2
Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp và 17 điểm bên trong.
Cmr: tồn tại 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1

 

[son9701]

Thôi thì chém nghiệm nguyên

IV/ K mất tính tổng quát,giả sử y \leq z .Ta có:
[tex]xyz < xyz+2 = (x+1)(y+z) \leq (x+1)(z+z) = 2z(x+1)[/tex]

hay [tex]x(y-2) < 2[/tex]
+ y= 1 thay vào giả thiết ta thấy pt vô nghiệm nguyên dương
+ y= 2 thay vào giả thiết ta có:
[tex]2xz+2 = (x+1)(z+2) \Leftrightarrow xz-2x-z+2=2 \Leftrightarrow (z-2)(x-1) = 2[/tex] từ đây giải tiếp ra nghiệm (x;y;z) = (2;2;4);(3;2;3)
+ y \geq 3 thì [tex] 1 \leq x(y-2) < 2[/tex] nên x(y-2) = 1 ( do x;y nguyên dương) hay x=y-2=1 [TEX]\Leftrightarrow x=1;y=3[/TEX]
x=1;y=3 thay vào giả thiết ta tính được z=4
Từ các nghiệm này ta đảo các giá trị của y và z ta tìm đc nghiệm còn lại của pt

Vậy (x;y;z) = (2;2;4);(2;4;2);(3;2;3);(3;3;2);(1;3;4);(1;4;3) là các nghiệm nguyên pt

 

[nguyenphuongthao28598]

nthjk

bài 1 dễ nhất
1,Cmr: với số nguyên n thì:

chia hết cho 30
\Leftrightarrown^5+6n^3-n^3+6n
\Leftrightarrown^3(n^2+6)-n(n^2+6)
\Leftrightarrown(n-1)(n+1)(n^2-4+10)
\Leftrightarrow(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 10(n-10)n(n+1) chia hết cho30