Đề thi ViOlympic vòng 8

[i_love_debbyryan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm số dư trong phép chia sau:
a) [TEX](x^{51}+x^{50}+...+x^2+x+1) : (x^{16}+x^{15}+...+x^2+x+1)[/TEX]
b) [TEX](x^{79}+x^{78}+x^{77}+...+x^2+x+1) : (x^{19}+x^{18}+x^{17}+...+x^2+x+1)[/TEX]

Làm nhanh giùm mình nha! Mình suy nghĩ hoài không ra!!

 

[thienlong_cuong]

Ta có :
x^51 + x^50 +x^49 + ( x^48 + ..... + x^2 + x + 1 )
Có phần trong ngoặc luôn chia hết cho x^16 + x^15 + .... + x^2 + x + 1
Xét
x^51 + x^50 + x^49
= x^49.(x^2 + x + 1)
Ta có :
Có
x^49
= x^49 + x^48 + x^47 + ... + x +1 - (x^48 + x^47 + ... + x^2 + x +1)
= x.(x^48 + x^47 + .... + x + 1) - (x^48 + x^47 + ... + x^2 + x +1) + 1

=> x^49 chia cho x^16 + x^15 + .... + x^2 + x + 1 dư 1
=> x^49.(x^2 + x + 1) chia x^16 + x^15 + .... + x^2 + x + 1 dư x^2 + x + 1


\Rightarrow x^51 + x^50 +x^49 + ( x^48 + ..... + x^2 + x + 1 ) chia x^16 + x^15 + .... + x^2 + x + 1 dư x^2 + x + 1

 

[thienlong_cuong]

Có
[TEX]x^79 + x^78 + x^77 + x^76 +... + x^2 + x + 1[/TEX]

Có [TEX]x^76 + x^75 + ... + x^2 + x +1[/TEX] chia hết cho [TEX]x^19 + x^18 + ... + x^2 + x + 1[/TEX]

Xét [TEX]x^77 + x^78 + x^79[/TEX] =[TEX]x^77[/TEX].( [TEX]x^2 +x +1[/TEX] )
Có
[TEX]x^77[/TEX] = [TEX]x^77 + x^76 + x^75 + ... + x^2 + x[/TEX] + 1 - ( [TEX]x^76 + x^75 + ... + x^2 + x + 1[/TEX] )

Tương tự bài trên ta có
[TEX]x^79 + x^78 + x^77[/TEX] = [TEX]x^77(x^2 +x + 1)[/TEX] chia cho [TEX]x^19 + x^18 + ... + x^2 + x +1 [/TEX] dư[TEX] x^2 + x + 1[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x^79 + x^78 + x^77 + ... + x^2 + x + 1[/TEX] chia cho [TEX]x^19 + x^18 + ... + x^2 + x +1[/TEX] dư [TEX]x^2 +x + 1[/TEX]@-)@-)@-)

 

[ththbode]

Ta co x^51+x^50+x^49+...+x+1=(x^51+x^50+...+x^35)+(x^34+x^33+...+x^18)+(x^17+x^16+...+x)+1
Sau do nhom vao ta se duoc so du bang 1
Con y b tuong tu thi duoc so du bang 0