Đề thi tuyển sinh vào lớp 10

[crazyfick1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Cho $Q(x)=x^3+ax+1$ và $P(x)=x^4+ax^2+1$. Tìm a để 2 đa thức trên có nghiệm chung.
2/ Giải pt: $\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}=2$
3/ Tìm nghiệm dương của hệ:
$x+2y+3z=3$
$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{x}=12$
4/ Tìm GTLN: $A=(2x-x^2)(y-2y^2)$ (0\leqx\leq2; 0\leqy\leq0.5)
5/ Cho x,y,z>0. CM:
$\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x} \ge \frac{x+y+z}{2}$
6/ Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm M trên BC. CMR: $MB^2+MC^2=2MA^2$
7/ Cho tam giác ABC có BC=a, AC=b, AB=c. CMR:
a/ $sin\frac{A}{2}$ \leq $\frac{a}{b+c}$
b/ $sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$ \leq $\frac{1}{8}$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 5:
Cauchy-Schwarz:
$VT=\sum \dfrac{x^2}{x+y} \ge \dfrac{(\sum x)^2}{2\sum x}=\dfrac{\sum x}{2}=VP$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3:

Bunyakovsky:

$(x+2y+3z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{z}) \ge (1+2+3)^2 =36$

$\rightarrow x=y=z=\dfrac{1}{2}$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 6:

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$

$MB^2+MC^2=BC^2-2(IA^2-IM^2)=2IA^2+2IM^2=2AM^2$ (Phương tích của điểm $M$ với đường tròn tâm $I$, bán kính $IA=IB=IC$)

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 4:

$A= [- ( x-1)^2+1][-2(y-\dfrac{1}{4})^2+\dfrac{1}{8}] \le \dfrac{1}{8}$

$\text{maxA=}\dfrac{1}{8} \leftrightarrow x=1; y=\dfrac{1}{4}(TM)$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 7:

Vặn não nãy giờ mới nhớ ra cái công thức diện tích theo phân giác =))

a) $S_{ABC}=\dfrac{l_a.\sin \dfrac{A}{2} (b+c)}{2}$

Có $l_a \ge h_a \rightarrow S_{ABC} \le \dfrac{al_a}{2}$

$\leftrightarrow \dfrac{l_a.\sin \dfrac{A}{2} (b+c)}{2} \le \dfrac{a.l_a}{2}$

$\leftrightarrow \sin \dfrac{A}{2} \le \dfrac{a}{b+c}$

b) $\sin \dfrac{A}{2}. \sin \dfrac{B}{2}.\sin \dfrac{C}{2} \le \dfrac{1}{8}$ chứ nhỉ

 

[crazyfick1]

Bài 5:
Cauchy-Schwarz:
$VT=\sum \dfrac{x^2}{x+y} \ge \dfrac{(\sum x)^2}{2\sum x}=\dfrac{\sum x}{2}=VP$

cai này là sao vậy, tui chưa học tới mà, còn cách nào khác không bạn

 

[huynhbachkhoa23]

cai này là sao vậy, tui chưa học tới mà, còn cách nào khác không bạn

Cái này chứng minh thêm $\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge \dfrac{(a+b)^2}{x+y}$ bằng Bunyakovsky.

Rồi áp dụng vào bài. $\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z} \ge \dfrac{(x+y)^2}{x+y+y+z}$

$VT \ge \dfrac{z^2}{z+x}+\dfrac{(x+y)^2}{x+y+y+z} \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=VP$

Và đây là cách khác =))

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 5:
Cauchy:
$\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{x+y}{4} \ge x$

$\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4} \ge y$

$\dfrac{z^2}{z+x}+\dfrac{z+x}{4} \ge x$

Cộng lại chuyển vế: $VT \ge x+y+z - \dfrac{x+y+z}{2}=VP$

 

[thinhrost1]

Bài 4:

$A= [- ( x-1)^2+1][-2(y-\dfrac{1}{4})^2+\dfrac{1}{8}] \ge \dfrac{1}{8}$

$\text{maxA=}\dfrac{1}{8} \leftrightarrow x=1; y=\dfrac{1}{4}(TM)$

Cách khác:
Áp dụng cauchy cho 2 số:

$32A=4x(2-x)8y(1-2y) \le (x+2-x)^2(2y+1-2y)^2=4$

$ \Rightarrow A \le \dfrac{1}{8}$

Dấu bằng xảy ra khi: $x=1; y=\dfrac{1}{4}(TM)$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2:

$\dfrac{1}{\sqrt{2-x^2}}=\dfrac{2x-1}{x}$

$\leftrightarrow \dfrac{1}{-x^2+2}=\dfrac{4x^2-4x+1}{x^2}$

$\leftrightarrow -x^2=(x^2-2)(4x^2-4x+1)$

$\leftrightarrow 2x^4-2x^3-3x^2+4x-1=0$

Tổng các hệ số bằng $0 \to x=1$ là 1 nghiệm.

Xét $x\ne 1$

$2x^3(x-1)-(x-1)(3x-1)=0$

$\leftrightarrow 2x^3-3x+1=0$

$\leftrightarrow 2x^3-2x^2+2x^2-2x-x+1=0$

$\leftrightarrow 2x^2+2x-1=0$

$\leftrightarrow x=\dfrac{-1\pm \sqrt{3}}{2}$

Thử lại các nghiệm thấy $x=1;x=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}$ thoả mãn

Điều kiện tự đặt =))

 

[huynhbachkhoa23]

Câu 1:

Anh làm thử cách này đi: Tìm nghiệm của $P(x)$(4 nghiệm) rồi thế vào $Q(x)$ rồi tìm $a$..............................................

 

[forum_]

2/ Giải pt: $\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}=2$

Làm theo cách huynhkhoaback vầy phải giải PT bậc 4

cách khác (giải PT bậc 2)

Đặt $x=a$

$\sqrt{2-x^2} = b$

==> $a^2+b^2= 2$

Và PT đã cho viết lại:

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=2$ (1)

\Leftrightarrow $\dfrac{a+b}{ab} = 2$

\Leftrightarrow $\dfrac{a+b}{\dfrac{(a+b)^2 - 2}{2}} = 2$ (vì $a^2+b^2=2$)

\Leftrightarrow .........

Tính đc a+b = ?

Rút thế vào PT (1) ..............

 

[huynhbachkhoa23]

Làm theo cách huynhkhoaback vầy phải giải PT bậc 4

cách khác (giải PT bậc 2)

Đặt $x=a$

$\sqrt{2-x^2} = b$

==> $a^2+b^2= 2$

Và PT đã cho viết lại:

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=2$ (1)

\Leftrightarrow $\dfrac{a+b}{ab} = 2$

\Leftrightarrow $\dfrac{a+b}{\dfrac{(a+b)^2 - 2}{2}} = 2$ (vì $a^2+b^2=2$)

\Leftrightarrow .........

Tính đc a+b = ?

Rút thế vào PT (1) ..............

Tính $a+b$ xong rồi tính $ab$ và theo Viet có được không chị.

 

[braga]

Làm theo cách huynhkhoaback vầy phải giải PT bậc 4

cách khác (giải PT bậc 2)

Đặt $x=a$

$\sqrt{2-x^2} = b$

==> $a^2+b^2= 2$

Và PT đã cho viết lại:

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=2$ (1)

\Leftrightarrow $\dfrac{a+b}{ab} = 2$

\Leftrightarrow $\dfrac{a+b}{\dfrac{(a+b)^2 - 2}{2}} = 2$ (vì $a^2+b^2=2$)

\Leftrightarrow .........

Tính đc a+b = ?

Rút thế vào PT (1) ..............

Thử dùng BĐT vào bài này xem, sẽ ngắn gọn hơn đấy !

 

[hien_vuthithanh]

cai này là sao vậy, tui chưa học tới mà, còn cách nào khác không bạn

cách khác dễ hiểu hơn nè
AD BDT Cosi
$\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{x+y}{4} $\geq $ 2\sqrt{\dfrac{x^2}{4}}$=x
TT\Rightarrow $\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}$\geq x+y+z-$\dfrac{x+y}{4}-\dfrac{y+z}{4}-\dfrac{z+x}{4}$=$\dfrac{x+y+z}{2}$
\Rightarrow dpcm