Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên KHTN năm 2011 (Vòng 1)

Status
Không mở trả lời sau này.
O

ohmymath

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đây là đề chung:

MÔN: TOÁN (Vòng 1)

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)​
[/B]

Câu I.
  1. Giải hệ phương trình:
    [TEX] (x-1)y^2+x+y=3\\(y-2)x^2+y=x+1[/TEX]​
  2. Giải phương trình:
    [TEX] \sqrt{x + \frac{3}{x}}=\frac{x^2 + 7}{2(x + 1)} [/TEX]​

Câu II.
  1. Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên [TEX](x, y, z)[/TEX] thỏa mãn đẳng thức:
    [TEX]x^4 + y^4 = 7z^4 + 5[/TEX]​
  2. Tìm tất cả các cặp số nguyên [TEX](x, y)[/TEX] thỏa mãn đẳng thức:
    [TEX](x + 1)^4 - (x - 1)^4 = y^3[/TEX]​

Câu III.
Cho hình bình hành ABCD với [TEX]\widehat{BAD} < 90^\circ[/TEX]. Đường phân giác của góc [TEX]\widehat{BCD}[/TEX] cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C. Kẻ đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với CO. Đường thẳng (d) lần lượt cắt các đường thẳng CB, CD tại E, F.
  1. Chứng minh rằng [TEX]\Delta OBE = \Delta ODC[/TEX].
  2. Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.
  3. Gọi giao điểm của OC và BD là I. Chứng minh rằng [TEX]IB.BE.EI = ID.DF.FI[/TEX].

Câu IV. Với x, y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[TEX]P = \sqrt{\frac{x^3}{x^3 + 8y^3}} + \sqrt{\frac{4y^3}{y^3 + (x + y)^3}}[/TEX]​
 
Last edited by a moderator:
C

count_rainbow

1. bài 1
1. (1): (x-1).y^2+x+y=3
\Leftrightarrow (x-1).y^2+x-1+y-2=0
\Leftrightarrow (x-1).(y^2+1)+y-2=0 (3)
()2: (y-2).x^2+(y-2)-(x-1)=0
\Leftrightarrow (y-2)(x^2+1)=x-1
thay vào (3): (y-2)(x^2+1)(y^2+1)+y-2=0
\Leftrightarrow (y-2)(x^2.y^2+x^2+y^2+2)=0
\Leftrightarrow y-2=0 (vì cái nhân tử còn lại luôn >0)
nên y=2 \Leftrightarrow x=1
 
Last edited by a moderator:
B

bananamiss

ohmymath said:
Câu I.
  1. Giải hệ phương trình:
    [TEX] (x-1)y^2+x+y=3\\(y-2)x^2+y=x+1[/TEX]​
  2. Giải phương trình:
    [TEX] \sqrt{x + \frac{3}{x}}=\frac{x^2 + 7}{2(x + 1)} [/TEX]​

Câu II.
  1. Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên [TEX](x, y, z)[/TEX] thỏa mãn đẳng thức:
    [TEX]x^4 + y^4 = 7z^4 + 5[/TEX]​
  2. Tìm tất cả các cặp số nguyên [TEX](x, y)[/TEX] thỏa mãn đẳng thức:
    [TEX](x + 1)^4 - (x - 1)^4 = y^3[/TEX]​
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

I,2

[TEX]DK \ x \geq 0[/TEX]

[TEX]pt \Leftrightarrow (x^2+3).4(x+1)^2=x^2(x^2+7)^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x-1)(x^5+x^4+11x^3+3x^2+36x+12)=0[/TEX]

[TEX]x \geq 0 \Rightarrow x^5+x^4+11x^3+3x^2+36x+12 > 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x=1[/TEX]

chắc còn cách nhanh hơn chứ cách này phải nhân ra, dài quá :D

II,1

[TEX]a^2 \ : \ 8 [/TEX] luôn dư 0,1,4

[TEX]\Rightarrow a^4 \ : \ 8[/TEX] luôn dư 0,1

[TEX]\Rightarrow x^4+y^4 \ : \ 8[/TEX] có thể có các số dư là 0,1,2

[TEX]7z^4 \ : \ 8[/TEX] có thể có các số dư 0,7,6

[TEX]\Rightarrow 7z^4+5 \ : \ 8[/TEX] có thể có các số dư là 5,4,3

~~~> hiển nhiên vô nghiệm :D

2,

[TEX]\Leftrightarrow 8x^3+8x=y^3[/TEX]

dễ cm

[TEX](2x-1)^3 < y^3 < (2x+1)^3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow y=2x \Leftrightarrow ...[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
J

jris1

Bạn ơi! Sáng nay mình làm bài Ia mình ra nghiệm là (1;2) không phải (-1;2) đâu.
Còn bài 2 mình ra nghiệm là 3 và 1 hình như bananamiss giải thiếu 1 nghiệm mình thử lại rồi đúng đó. Còn các bài còn lại mình chịu
 
B

bboy114crew

bananamiss said:
I,2

[TEX]DK \ x \geq 0[/TEX]

[TEX]pt \Leftrightarrow (x^2+3).4(x+1)^2=x^2(x^2+7)^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x-1)(x^5+x^4+11x^3+3x^2+36x+12)=0[/TEX]

[TEX]x \geq 0 \Rightarrow x^5+x^4+11x^3+3x^2+36x+12 > 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x=1[/TEX]

chắc còn cách nhanh hơn chứ cách này phải nhân ra, dài quá :D

II,1

[TEX]a^2 \ : \ 8 [/TEX] luôn dư 0,1,4

[TEX]\Rightarrow a^4 \ : \ 8[/TEX] luôn dư 0,1

[TEX]\Rightarrow x^4+y^4 \ : \ 8[/TEX] có thể có các số dư là 0,1,2

[TEX]7z^4 \ : \ 8[/TEX] có thể có các số dư 0,7,6

[TEX]\Rightarrow 7z^4+5 \ : \ 8[/TEX] có thể có các số dư là 5,4,3

~~~> hiển nhiên vô nghiệm :D

2,

[TEX]\Leftrightarrow 8x^3+8x=y^3[/TEX]

dễ cm

[TEX](2x-1)^3 < y^3 < (2x+1)^3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow y=2x \Leftrightarrow ...[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
bỏ bài PTNN huhu:-SS:-SS
ra ngoài mới nghĩ ra~
bài 1:
2\ có hai cách :
c1:
bình phuowng rùi phân tích :
[TEX](x-1)^2(x-3)(x^2+x+4)=0[/TEX]
c2:
đặt:
[TEX]\sqrt{x^2+3}=a;\sqrt{x}=b[/TEX]
ta có:
[TEX]\frac{a}{b}=\frac{a^2+4}{2(b^2+1)} \Leftrightarrow (ab-2)(2b-a)=0[/TEX]
2.mình dùng tham số:
đặt;y=2x+d
ta có:
[TEX]8x=12x^2d+6xd^2+d^3[/TEX]
tính delta rùi suy ra d=0
 
Last edited by a moderator:
B

bboy114crew

ta có:
[TEX]P = \sqrt{\frac{x^3}{x^3 + 8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3 + (x + y)^3}}[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{8y^3}{x^3}}}+\frac{2}{ \sqrt{1+(1+\frac{x}{y })^3}}[/TEX]
dặt [TEX]\frac{y}{x}=a \Rightarrow P=\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}+\frac{2}{\sqrt{1+(1+\frac{1}{a })^3}}[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{(2a+1)(4a^2-2a+1)}+\frac{1}{(2a+\frac{1}{a })(\frac{1}{a^2 }+\frac{1}{a }+1)} \geq \frac{1}{2a^2+1}+\frac{2a^2}{2a^2+1} =1(AM-GM)[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
B

bboy114crew

dễ cm

[TEX](2x-1)^3 < y^3 < (2x+1)^3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow y=2x \Leftrightarrow ...[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
ko dễ đâu cậu mình làm như sau:
Nên [TEX]y=2k[/TEX],thay vào có pt mới [TEX]x^3+x=k^3[/TEX]

a.Nếu [TEX]x=0[/TEX] thì [TEX] k=0[/TEX].

b.Nếu [TEX]x>0[/TEX] thì [TEX]x^3< k^3<(x+1)^3 [/TEX] nên vô nghiệm

c.Nếu [TEX]x<0[/TEX] thì [TEX]x^3>k^3>(x-1)^3[/TEX] ( bởi vì [TEX]x^3+x >x^3-3x^2+3x-1[/TEX] do [TEX] 3x^2-3x+1>0 )[/TEX]
 
B

bananamiss

bboy114crew said:
ko dễ đâu cậu mình làm như sau:
Nên [TEX]y=2k[/TEX],thay vào có pt mới [TEX]x^3+x=k^3[/TEX]

a.Nếu [TEX]x=0[/TEX] thì [TEX] k=0[/TEX].

b.Nếu [TEX]x>0[/TEX] thì [TEX]x^3< k^3<(x+1)^3 [/TEX] nên vô nghiệm

c.Nếu [TEX]x<0[/TEX] thì [TEX]x^3>k^3>(x-1)^3[/TEX] ( bởi vì [TEX]x^3+x >x^3-3x^2+3x-1[/TEX] do [TEX] 3x^2-3x+1>0 )[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

này cậu kia, tôi bảo là y=2x chứ k phải y=2k

thay vào, ta có pt

[TEX]8x^2+8x=8x^2 \Leftrightarrow x=0[/TEX]

còn nữa, sao mấy bài viết của tôi đều có chữ kiểu như :

Thay đổi nội dung bởi: bboy114crew, cách đây 11 tiếng, lúc 21:53.

trong khi về nội dung thì cậu chả sửa chữa gì cả .
 
B

bboy114crew

nhoc_xu_kute_151 said:
oh, sao thấy đa số mọi người chỉ làm đại thôi, làm hình cho mình mở rộng tầm mắt vs
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
chuyenKHTN_2011_r1.png

1.
Ta có [TEX]OB=OD, \widehat{OBE} = \widehat{ODC}[/TEX] nên chỉ cần chứng minh [TEX]BE=CD[/TEX].
Dễ thấy rằng tam giác [TEX]CEF[/TEX] cân tại [TEX]C[/TEX] nên [TEX]\widehat{BEA} = \widehat{CFE} = \widehat{BAE}[/TEX].
Suy ra tam giác [TEX]BAE[/TEX] cân tại [TEX]B[/TEX] nên [TEX]BE=BA=CD[/TEX].
Do đó [TEX]\triangle OBE = \triangle ODC \; (\text{c.g.c})[/TEX]
2.
Từ câu 1, ta có [TEX]OE=OC[/TEX].
Mặt khác, ta có [TEX]OE=OF[/TEX] (do [TEX]O[/TEX] nằm trên trung trực của [TEX]EF[/TEX])
Vì vậy [TEX]O[/TEX] là tâm ngoại tiếp tam giác [TEX]CEF[/TEX].
3.
Vì [TEX]IE=IF[/TEX] nên ta chỉ cần chứng minh [TEX]IB \cdot BE = ID \cdot DF[/TEX].
Tương đương với [TEX]IB \cdot CD = ID \cdot CB \Leftrightarrow \frac{IB}{ID} = \frac{CB}{CD}[/TEX] (đúng do [TEX]CI[/TEX] là phân giác của [TEX]\widehat{BCD}[/TEX])
Nguồn máthcope
 
Last edited by a moderator:
Status
Không mở trả lời sau này.
Top Bottom