Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2014 toán chuyên

[congchuaanhsang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: Tính:

$S=\sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}+....+\sqrt{1+\dfrac{1}{2013^2}+\dfrac{1}{2014^2}}$

Câu 2: a, Giải phương trình: $(x+1)\sqrt{2x^2-2x}=2x^2-3x-2$

b, Giải hệ $(xy-2y^2)(x+2)=-6$ và $x(y+1)=-1$

Câu 3: a, Cm rằng nếu p nguyên tố lớn hơn 3 thì $(p-1)(p+1)$ chia hết cho 24

b, Tìm nghiệm nguyên: $x^3+y^3-3xy-3=0$

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông ở A có AB<AC ngoại tiếp (O). Gọi D,E,F là tiếp điểm của (O) với AB,AC,BC; BO cắt EF ở I, M di động trên CE

a, Tính $\hat{BIF}$

b, BM cắt EF ở H. Cm nếu $AM=AB$ thì $ABHI$ là tứ giác nội tiếp

c, BM cắt cung nhỏ EF của (O) ở N; P và Q là hình chiếu của N trên DE,DF. Xác định vị trí M để PQ min

Câu 5: Trên bảng cho 2014 số tự nhiên từ 1 đến 2014. Thực hiện liên tiếp phép biến đổi sau: Mỗi lần xóa đi 2 số a,b trên bảng rồi viết thêm số $a+b-\dfrac{1}{2}ab$ vào bảng. Khi trên bảng còn 1 số thì dừng lại. Tìm số còn lại đó.

 

[su10112000a]

Câu 3: a, Cm rằng nếu p nguyên tố lớn hơn 3 thì $(p-1)(p+1)$ chia hết cho 24

vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ là số lẻ
$\Longrightarrow p-1 \ và \ p+1 \ là \ tích \ của \ 2 \ số \ chẵn \ liên \ tiếp$
$\Longrightarrow (p-1)(p+1)\ \vdots \ 8 \ (1)$
giả sử:
+ $p = 3k +1 \rightarrow p-1 = 3k \rightarrow p-1\ \vdots \ 3$
+ $p = 3k +2 \rightarrow p+1 = 3k+3 \rightarrow p+1\ \vdots \ 3$
suy ra: $(p-1)(p+1)\ \vdots \ 3$ với mọi $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3 \ (2)$
từ $(1) \ và \ (2)$, ta có $\mathfrak{dpcm}$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2:
a) Đặt $\sqrt{2x^2-2x}=t$

$(x+1)t=t^2-x-2$

$\leftrightarrow t^2-(x+1)t-(x+2)=0$

$\Delta = (x+1)^2+4(x+2)=x^2+2x+1+4x+8=x^2+6x+9=(x+3)^2 \ge 0$

Đến đây dễ rồi.

 

[pandahieu]

Cho mình hỏi đề trên có đáp án không cho mình xin (Chắc bài cuối cũng được)

 

[pandahieu]

Bài 5:
Gọi $S=1+2+3+..+2014=2029105$
sau mỗi lần xóa, tổng tất cả các số còn lại trên bảng giảm $0,5$
có tổng $2013$ lần xóa => số còn lại cuối cùng $= S-0,5.2013=2029105-0,5.2013=2028098,5$

Bạn đùa. Đáp số bài này lão sói bảo là 2 mà

 

[congchuaanhsang]

Sao không bác nào làm câu hệ thế?

Thôi để em làm =))

b, Giải hệ $(xy-2y^2)(x+2)=-6$ và $x(y+1)=-1$

$(xy-2y^2)(x+2)=-6$ \Leftrightarrow $y(x-2y)(x+2)=-6$

\Leftrightarrow $(x-2y)(xy+2y)=-6$

Đặt $x-2y=a$ ; $xy+2y=b$ ta có:

$ab=-6$

$a+b=x+xy=x(y+1)=-1$

\Rightarrow a và b là nghiệm của phương trình:

$X^2+X-6=0$

\Rightarrow ..................

 

[vuive_yeudoi]

Câu 5. Trên bảng cho 2014 số tự nhiên từ 1 đến 2014. Thực hiện liên tiếp phép biến đổi sau: Mỗi lần xóa đi 2 số a,b trên bảng rồi viết thêm số $a+b-\dfrac{1}{2}ab$ vào bảng. Khi trên bảng còn 1 số thì dừng lại. Tìm số còn lại đó.

Lời giải.

Đầu tiên nhận xét thấy là
$$ a+b -\frac{ab}{2} -2 =- \frac{ \left( a-2 \right) \left( b- 2 \right)}{2} $$
Với các số có ở trên bảng $ \displaystyle a_1 \ ; \ a_2 \ ; \cdot \ ; a_{2014} $, cho tương ứng với tích
$$ s=\left( a_1 -2 \right) \left( a_2 -2 \right) \cdot \left( a_{2014} -2 \right) $$
Sau mỗi lần biến đổi , xóa đi hai số $ \displaystyle a,b $ , tức là tích mất đi $ \displaystyle \left( a-2 \right) \left( b-2 \right) $ , và thêm vào số $ \displaystyle a+b -\frac{ab}{2} $, tức là tích thêm vào $ \displaystyle a+b -\frac{ab}{2} -2=- \frac{ \left( a-2 \right) \left( b- 2 \right)}{2}$.

Nghĩa là sau một phép biến đổi , tích ban đầu $ \displaystyle s $ biến thành $ s_1 $ với
$$ s_1 = -\frac{s}{2} $$

Các số ghi trên bảng ban đầu là các số tự nhiên từ $ \displaystyle 1 $ đến $ \displaystyle 2014 $ , có số $ \displaystyle 2 $ , vậy nên tích ban đầu $ \displaystyle s=0 $ , dẫn tới tích sau khi biến đổi bao nhiêu lần thì cũng bằng $ \displaystyle 0 $ .

Gọi số sau cùng còn lại trên bảng là $ \displaystyle x $ , tương ứng với tích
$$ x-2 =0 $$
Vậy số sau cùng trên bảng sau khi thực hiện các phép biến đổi như đề bài là số $ \displaystyle 2 $.

 

[0973573959thuy]

Bài 1:

Chứng minh được với mọi $a \ge 1$ thì $\sqrt{1 + \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{(a + 1)^2}} = \dfrac{a^2 + a + 1}{a(a + 1)} = 1 + \dfrac{1}{a(a + 1)} = 1 + \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{a + 1}$

Dó đó $A = (1 + 1 - \dfrac{1}{2}) + (1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}) + .... + (1 + \dfrac{1}{2013} - \dfrac{1}{2014})$

$A = 2013 + (1 - \dfrac{1}{2014}) = 2014 - \dfrac{1}{2014} = 2013,999503$