Câu 1
a. Với x=2 có \[A=\frac{2+\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}=-1+2\sqrt{2}\]
b.
\[\begin{align}
& B=\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1} \\
& =\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{x+2}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}-\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1} \\
& =\frac{x+\sqrt{x}+1-x-2-x+1}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \\
& =\frac{-x+\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \\
& =\frac{-\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \\
& =\frac{-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} \\
\end{align}\]
c.
\[\begin{align}
& C=-\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}.\frac{-2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\frac{2(\sqrt{x}+1)-2}{\sqrt{x}+1}=2-\frac{2}{\sqrt{x}+1} \\
& \sqrt{x}+1\ge 1\forall x\ge 0;x\ne 1 \\
& \Rightarrow 0<\frac{2}{\sqrt{x}+1}\le 2 \\
& \Rightarrow 0\le C<2 \\
\end{align}\]
Tự xét các trường hợp
Câu 3
c.
Gọi điểm cố định của họ đồ thị y=(m-4)x+m+4 là I(x0;y0)
\[\begin{align}
& {{y}_{0}}=(m-4){{x}_{0}}+m+4\forall m \\
& ({{x}_{0}}+1)m-(4{{x}_{0}}+{{y}_{0}}-4)=0\forall m \\
& \Rightarrow {{x}_{0}}=-1;{{y}_{0}}=8 \\
\end{align}\]
Suy ra y(m-4)x+m+4 luôn đi qua I(-1;8)
Có kc từ O(0;0) đến (d) [TEX]\le \sqrt{{{1}^{2}}+{{8}^{2}}}=\sqrt{65}[/TEX]
Câu 4
a. Dễ có góc GEB=GHB=90 nên tứ giác GEBH nội tiếp
b. Do tứ giác CEBD nội tiếp nên góc KEC=CDB
Tam giác KEC đồng dạng KDB suy ra KE/KD=KC/KB hay KC.KD=KE.KB
c. Dễ có G là trực tâm tam giác KAB suy ra B,G,F thẳng hàng
Xét (O) có góc ABF= AEF
Có tứ giác EGHB nội tiếp suy ra góc GEH= GBH
Suy ra góc FEG= GEH
Tương tự câu a có tứ giác FGHA nội tiếp suy ra góc FGA=FHA
Có tứ giác GEBH nội tiếp suy ra góc EGB=EHB
Mà góc FGA=EGB
Suy ra góc FHA=EHB
Suy ra góc FHG=EHG
Vậy G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác HEF
Câu 5
\[\begin{align}
& 6=a+b+c+ab+bc+ac\le a+b+c+\frac{{{(a+b+c)}^{2}}}{3} \\
& \Leftrightarrow 18\le 3(a+b+c)+{{(a+b+c)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow {{(a+b+c)}^{2}}+3(a+b+c)-18\ge 0 \\
& \Rightarrow a+b+c\ge 3 \\
& \frac{{{a}^{3}}}{b}+b+1\ge 3\sqrt[3]{\frac{{{a}^{3}}}{b}.b.1}=3a \\
& \Rightarrow \frac{{{a}^{3}}}{b}\ge 3a-b-1 \\
& CMTT\Rightarrow \frac{{{a}^{3}}}{b}+\frac{{{b}^{3}}}{c}+\frac{{{c}^{3}}}{a}\ge 2(a+b+c)-3\ge 3 \\
& ''=''\Leftrightarrow a=b=c=1 \\
\end{align}\]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
