Câu 5:
Để pt đã cho có 2 nghiệm $x_{1};x_{2}$ [tex]\Leftrightarrow b^{2}-4ac\geq 0\Leftrightarrow b^{2}\geq 4ac[/tex]
Theo hệ thức Viète ta có: [tex]x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a};x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}[/tex]
Vì $a\neq 0$ nên $a^{2}\neq 0$.
Vì [tex]0\leq x_{1}\leq x_{2}\leq 2\Rightarrow x_{1}(x_{2}-x_{1})\geq 0;2-x_{2}\geq 0;2+x_{2}>0[/tex] và $[5+3.(x_{1}+x_{2})+(x_{1}+x_{2})^{2}].3>0$
Có: $L=\frac{3a^{2}-ab+ac}{5a^{2}-3ab+b^{2}}=\frac{\frac{3a^{2}-ab+ac}{a^{2}}}{\frac{5a^{2}-3ab+b^{2}}{a^{2}}}=\frac{3-\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}{5-3\frac{b}{a}+(\frac{b}{a})^{2}}=\frac{3+(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}}{5+3.(x_{1}+x_{2})+(x_{1}+x_{2})^{2}}$
Xét $L-\frac{1}{3}=\frac{3+(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}}{5+3.(x_{1}+x_{2})+(x_{1}+x_{2})^{2}}-\frac{1}{3}$
$=\frac{[3+(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}].3-[5+3.(x_{1}+x_{2})+(x_{1}+x_{2})^{2}]}{[5+3.(x_{1}+x_{2})+(x_{1}+x_{2})^{2}].3}$
$=\frac{4+3x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})^{2}}{[5+3.(x_{1}+x_{2})+(x_{1}+x_{2})^{2}].3}$
$=\frac{4+x_{1}x_{2}-x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}{[5+3.(x_{1}+x_{2})+(x_{1}+x_{2})^{2}].3}$
$=\frac{(2-x_{2})(2+x_{2})+x_{1}(x_{2}-x_{1})}{[5+3.(x_{1}+x_{2})+(x_{1}+x_{2})^{2}].3}\geq 0$
$\Leftrightarrow L\geq \frac{1}{3}$
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=0\\ x_{2}=2 \end{matrix}\right.[/tex] hoặc [tex]x_{1}=x_{2}=2[/tex]
Câu 3.2:
Ta có: [tex]\Delta' =(-m)^{2}-(m^{2}+2)=2>0[/tex]
nên pt đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ với mọi m
Khi đó, theo hệ thức Viète ta có:
$x_{1}+x_{2}=2m;x_{1}x_{2}=m^{2}-2$
Xét $\left | x_{1}^{3}-x_{1}^{3} \right |=10\sqrt{2}$
$\Rightarrow (\left | x_{1}^{3}-x_{1}^{3} \right |)^{2}=(10\sqrt{2})^{2}$
$\Leftrightarrow (x_{1}^{3}-x_{1}^{3})^{2}=200$
$\Leftrightarrow [(x_{1}-x_{2})(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})]^{2}=200$
$\Leftrightarrow (x_{1}-x_{2})^{2}[(x_{1}+x_{2})^{2}-x_{1}x_{2}]^{2}=200$
$\Leftrightarrow (x_{1}-x_{2})^{2}(3m^{2}+2)^{2}=200$
$\Leftrightarrow [(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}]^2(3m^{2}+2)^{2}=200$
$\Leftrightarrow 4.(3m^{2}+2)^{2}=200$
$\Leftrightarrow (3m^{2}+2)^{2}=25$
$\Leftrightarrow 3m^{2}+2=5$ ( vì $3m^{2}+2>0$)
$\Leftrightarrow m^{2}=1$
$\Leftrightarrow m=\pm 1(t/m)$
Vậy...
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
