- 20 Tháng chín 2013
- 5,018
- 7,484
- 941
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Bách Khoa TPHCM
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM
a) Tìm $m$ để các phương trình $(1)$ và $(2)$ đều có $2$ nghiệm dương phân biệt.
b) Giả sử điều kiện ở câu a) được thỏa mãn, gọi $x_1$, $x_2$ là nghiệm của $(1)$ và $x_3$, $x_4$ là nghiệm của $(2)$.
Chứng minh rằng $x_1x_2x_3+x_2x_3x_4+x_3x_4x_1+x_4x_1x_2 > 5$
Bài 2. (2 điểm) Cho $a$, $b$ là hai số nguyên thỏa mãn $a^3+b^3 > 0$.
a) Chứng minh rằng $a^3+b^3 \geq a + b > 0$.
b) Chứng minh rằng $a^3+b^3 \geq a^2+b^2$.
c) Tìm tất cả các bộ số $x$, $y$, $z$, $t$ nguyên sao cho $x^3+y^3=z^2+t^2$ và $z^3+t^3=x^2+y^2$.
Bài 3. (2 điểm) Cho $A_n = 2018^n + 2032^n - 1964^n - 1984^n$ với $n$ là số tự nhiên.
a) Chứng minh với mọi số tự nhiên $n$ thì $A_n$ chia hết cho $51$.
b) Tìm tất cả những số tự nhiên $n$ sao cho $A_n$ chia hết cho $45$.
Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn. Một đường tròn qua $B$, $C$ cắt các cạnh $AB$, $AC$ lần lượt tại $E$ và $F$; $BF$ cắt $CE$ tại $D$. Lấy điểm $K$ sao cho tứ giác $DBKC$ là hình bình hành.
a) Chứng minh rằng $\triangle{KBC}$ đồng dạng với $\triangle{DFE}$, $\triangle{AKC}$ đồng dạng với $\triangle{ADE}$.
b) Hạ $DM$ vuông góc với $AB$, $DN$ vuông góc với $AC$. Chứng minh rằng $MN$ vuông góc với $AK$.
c) Gọi $I$ là trung điểm $AD$, $J$ là trung điểm $MN$. Chứng minh rằng đường thẳng $IJ$ đi qua trung điểm của cạnh $BC$.
d) Đường thẳng $IJ$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $IMN$ tại $T$ ($T \ne I$). Chứng minh rằng $AD$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $DTJ$.
Bài 5. (1,5 điểm) Đội văn nghệ của một trường THCS có $8$ học sinh. Nhà trường muốn thành lập các nhóm tốp ca, mỗi nhóm gồm đúng $3$ học sinh, (mỗi học sinh có thể tham gia vài nhóm tốp ca khác nhau). Biết rằng hai nhóm tốp ca bất kỳ có chung nhau nhiều nhất là một học sinh.
a) Chứng minh rằng không có học sinh nào tham gia từ $4$ nhóm tốp ca trở lên.
b) Có thể thành lập được nhiều nhất là bao nhiêu nhóm tốp ca như vậy?
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KIẾUNăm học 2018 - 2019
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10Môn thi: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Bài 1. (1,5 điểm) Cho các phương trình $x^2-x+m=0 \ (1)$ và $mx^2-x+1=0 \ (2)$ với $m$ là tham số.Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
a) Tìm $m$ để các phương trình $(1)$ và $(2)$ đều có $2$ nghiệm dương phân biệt.
b) Giả sử điều kiện ở câu a) được thỏa mãn, gọi $x_1$, $x_2$ là nghiệm của $(1)$ và $x_3$, $x_4$ là nghiệm của $(2)$.
Chứng minh rằng $x_1x_2x_3+x_2x_3x_4+x_3x_4x_1+x_4x_1x_2 > 5$
Bài 2. (2 điểm) Cho $a$, $b$ là hai số nguyên thỏa mãn $a^3+b^3 > 0$.
a) Chứng minh rằng $a^3+b^3 \geq a + b > 0$.
b) Chứng minh rằng $a^3+b^3 \geq a^2+b^2$.
c) Tìm tất cả các bộ số $x$, $y$, $z$, $t$ nguyên sao cho $x^3+y^3=z^2+t^2$ và $z^3+t^3=x^2+y^2$.
Bài 3. (2 điểm) Cho $A_n = 2018^n + 2032^n - 1964^n - 1984^n$ với $n$ là số tự nhiên.
a) Chứng minh với mọi số tự nhiên $n$ thì $A_n$ chia hết cho $51$.
b) Tìm tất cả những số tự nhiên $n$ sao cho $A_n$ chia hết cho $45$.
Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn. Một đường tròn qua $B$, $C$ cắt các cạnh $AB$, $AC$ lần lượt tại $E$ và $F$; $BF$ cắt $CE$ tại $D$. Lấy điểm $K$ sao cho tứ giác $DBKC$ là hình bình hành.
a) Chứng minh rằng $\triangle{KBC}$ đồng dạng với $\triangle{DFE}$, $\triangle{AKC}$ đồng dạng với $\triangle{ADE}$.
b) Hạ $DM$ vuông góc với $AB$, $DN$ vuông góc với $AC$. Chứng minh rằng $MN$ vuông góc với $AK$.
c) Gọi $I$ là trung điểm $AD$, $J$ là trung điểm $MN$. Chứng minh rằng đường thẳng $IJ$ đi qua trung điểm của cạnh $BC$.
d) Đường thẳng $IJ$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $IMN$ tại $T$ ($T \ne I$). Chứng minh rằng $AD$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $DTJ$.
Bài 5. (1,5 điểm) Đội văn nghệ của một trường THCS có $8$ học sinh. Nhà trường muốn thành lập các nhóm tốp ca, mỗi nhóm gồm đúng $3$ học sinh, (mỗi học sinh có thể tham gia vài nhóm tốp ca khác nhau). Biết rằng hai nhóm tốp ca bất kỳ có chung nhau nhiều nhất là một học sinh.
a) Chứng minh rằng không có học sinh nào tham gia từ $4$ nhóm tốp ca trở lên.
b) Có thể thành lập được nhiều nhất là bao nhiêu nhóm tốp ca như vậy?
...............HẾT...............
