Đề 10 Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán THPT Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2018 - 2019 (cả 2 vòng)

[Thần mộ 2]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Là 1 học sinh 2k2 mình gửi tặng các bạn 2k3
(Trình bày không được đẹp lắm,mong các bạn 2k3 thông cảm.Âu cũng là tài liệu cho các bạn 2k4 thi không chuyên.Đề được tài trợ bởi trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định)
Một đề chung rất dễ phải không các bạn .

Sở Giáo dục và Đào tạo Nam Định
$\boxed{\text{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Năm học:$2018-2019$
Môn thi:Toán(chung)-đề 1
Dành cho học sinh thi vào khối chuyên khoa học tự nhiên
Thời gian làm bài:$120$ phút
(Đề thi gồm $:1$ trang)
Câu $1.(2,0$ điểm$)$
1/Giải phương trình: $\sqrt{2x+3}=x$
2/Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$,cho 2 đường thẳng:$y=-x-2 (d_1)$ và $y=\dfrac{3}{2}x+3 (d_2)$
Gọi $A,B$ lần lượt là giao $(d_1),(d_2)$ với $Oy$
$C$ là giao $(d_1)$ với $(d_2)$
Tính $S_{ABC}$
3/Cho $\triangle ABC$ có $AB=7,BC=17,CA=15(cm)$
Tính chu vi đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$
4/Một hình nón chu vi đường tròn đáy là $6\pi (cm)$,độ dài đường sinh là $5(cm)$.Tính thể tích hình nón.
Câu $2.(1,5$ điểm$)$
Cho:
$P=(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}) : (\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}})$ với $x>0$ và $x$ khác $1$
1/Rút gọn $P$
2/Chứng minh $P>4$
Câu $3.(2,5$ điểm $)$
1/Cho phương trình $x^2-mx-m^2+m-4=0$ $(m$ là tham số $)$
Chứng minh $PT$ có $2$ nghiệm phân biệt với mọi $m$
2/Tìm tất cả các giá trị tham số $m$ để $|x_2|-|x_1|=2$
3/Giải phương trình:
$6\sqrt{x+2}+3\sqrt{3-x}=3x+1+4\sqrt{-x^2+x+6}$
Câu $4.(3,0$ điểm$)$
Cho $\triangle ABC$ $(AB<AC)$ ngoại tiếp đường tròn $(O;R)$.Đường tròn tiếp xúc $BC,AB$ lần lượt tại $D,N$.Kẻ đường kính $DI$ của đường tròn $(O;R)$.Tiếp tuyến tại $I$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $E,F$
1/Chứng minh rằng $\triangle BOE$ vuông và $EI.BD=FI.CD=R^2$
2/Gọi $P,K$ lần lượt là trung điểm $BC,AD$.Gọi $Q$ là giao điểm $BC$ và $AI$.Chứng minh $AQ=2KP$
3/Gọi:
$A_1$ là giao $AO$ với $BC$
$B_1$ là giao $BO$ với $AC$
$C_1$ là giao $CO$ với $AB$
$(O_1;R_1)$ là đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$
Chứng minh $\dfrac{1}{AA_1}+\dfrac{1}{BB_1}+\dfrac{1}{CC_1}<\dfrac{2}{R_1-OO_1}$
Câu $5.(1,0$ điểm$)$
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} (2x+4y-1)\sqrt{2x-y-1}=(4x-2y-3)\sqrt{x+2y} & \\ x^2+8x+5-2(3y+2)\sqrt{4x-3y}=2\sqrt{2x^2+5x+2} & \end{matrix}\right.$
2/cho các số thực dương $a,b,c$ thoả $ab+2bc+2ac=7$
Tìm min
$Q=\dfrac{11a+11b+12c}{\sqrt{8a^2+56}+\sqrt{8b^2+56}+\sqrt{4c^2+7}}$
(Thí sinh được phép mang tài liệu vào phòng thi nhưng không được sử dụng bút,và ngược lại :v)
p/s:Đề chuyên sẽ được up sớm nhất có thể.

 

[Ann Lee]

Câu 3:
3/ [tex]6\sqrt{x+2}+3\sqrt{3-x}=3x+1+4\sqrt{-x^{2}+x+6}[/tex]
ĐKXĐ: [tex]-2\leq x\leq 3[/tex]
Đặt $2\sqrt{x+2}+\sqrt{3-x}=a(a>0)$
$\Rightarrow a^{2}=4(x+2)+(3-x)+4\sqrt{(x+2)(3-x)}=3x+11+4\sqrt{-x^{2}+x+6}$
$\Leftrightarrow 4\sqrt{-x^{2}+x+6}=a^{2}-3x-11$
Khi đó, phương trình đã cho
$\Leftrightarrow 3a=3x+1+a^{2}-3x-11$
$\Leftrightarrow (a-5)(a+2)=0$
$\Leftrightarrow a=5$ ( vì $a>0$)
Trở lại cách đặt [tex]2\sqrt{x+2}+\sqrt{3-x}=5\Leftrightarrow 2\sqrt{x+2}=5-\sqrt{3-x}[/tex] (*)
Vì [tex]-2\leq x\leq 3\Rightarrow 5-\sqrt{3-x}>0[/tex]
Từ (*) [tex]\Rightarrow 4(x+2)=25+3-x-10\sqrt{3-x}\Leftrightarrow 2\sqrt{3-x}=4-x[/tex] (**)
Vì [tex]-2\leq x\leq 3\Rightarrow 4-x >0[/tex]
Từ (**) [tex]\Rightarrow 4(3-x)=16-8x+x^{2}\Leftrightarrow (x-2)^{2}=0\Leftrightarrow x=2(t/m)[/tex]
Vậy....

Câu 4:
1/ +) Xét (O) có 2 tiếp tuyến tại tiếp điểm I và N cắt nhau tại E
[TEX]\Rightarrow[/TEX] OE là tia phân giác của [tex]\widehat{ION}[/tex]
Tương tự: OB là tia phân giác của [tex]\widehat{DON}[/tex]
Mà [tex]\widehat{ION}+\widehat{NOD}=180^{\circ}[/tex]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] [tex]OE\perp OB[/tex]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] [tex]\Delta EOB[/tex] vuông tại O (đpcm)

+) Dễ chứng minh [tex]\Delta IOE\sim \Delta DBO(g-g)\Rightarrow \frac{IE}{DO}=\frac{OI}{DB}\Rightarrow EI.BD=OI.DO=R^{2}[/tex]
Chứng minh tương tự: [tex]FI.CD=R^{2}[/tex]
Suy ra [tex]EI.BD=FI.CD=R^{2}[/tex](đpcm)

2/ Vì [TEX]FE//BC[/TEX] ( cùng vuông góc với [TEX]ID[/TEX]) nên theo định lý Thales, ta có:
[tex]\frac{IF}{QC}=\frac{AF}{AC}=\frac{FE}{BC}[/tex] (1)
Ta có [tex]EI.BD=FI.CD\Rightarrow \frac{FI}{DB}=\frac{EI}{CD}=\frac{FI+EI}{DB+DC}=\frac{EF}{BC}[/tex] (2)
Từ (1) và (2) suy ra [tex]\frac{FI}{QC}=\frac{FI}{BD}\Rightarrow QC=BD[/tex]
Mà [tex]CP=CQ+QP;BP=BD+DP;CP=PB\Rightarrow QP=PD[/tex]
Xét [tex]\Delta ADQ[/tex] có P,K lần lượt là trung điểm của QD và AD
[tex]\Rightarrow PK[/tex] là đường trung bình của Xét [tex]\Delta ADQ[/tex]
[tex]\Rightarrow AQ=2PK[/tex] (đpcm)

3/ Câu này làm như thế nào hở mọi người @@

Câu 5:
1/ $\left\{\begin{matrix} (2x+4y-1)\sqrt{2x-y-1}=(4x-2y-3)\sqrt{x+2y} (1) & \\ x^2+8x+5-2(3y+2)\sqrt{4x-3y}=2\sqrt{2x^2+5x+2} (2)& \end{matrix}\right.$

ĐKXĐ: [tex]2x-y-1\geq 0;x+2y\geq 0;4x-3y\geq 0;2x^{2}+5x+2\geq 0 (*)[/tex]
Xét [TEX]PT(1)[/TEX] : [TEX](2x+4y-1)\sqrt{2x-y-1}=(4x-2y-3)\sqrt{x+2y}[/TEX]
Đặt [tex]\sqrt{2x-y-1}=a(a\geq 0);\sqrt{x+2y}=b(b\geq 0)[/tex]
[tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2a^{2}=4x-2y-2\\2b^{2}=2x+4y \end{matrix}\right.[/tex]
Khi đó, $PT(1)\Leftrightarrow (2b^{2}-1)a=(2a^{2}-1)b$
$\Leftrightarrow (b-a)(2ab+1)=0$
Vì [tex]a;b\geq 0\Rightarrow 2ab+1>0\Rightarrow[/tex] [tex]b-a=0\Leftrightarrow a=b[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{2x-y-1}=\sqrt{x+2y}\Leftrightarrow 2x-y-1=x+2y\Leftrightarrow3y=x-1[/tex]
Thay [TEX]3y=x-1[/TEX] vào [TEX]PT(2)[/TEX] ta được
[tex]x^{2}+8x+5-2(x+1)\sqrt{3x+1}=2\sqrt{(2x+1)(x+2)}[/tex]
$\Leftrightarrow [(x+1)^{2}+(3x+1)-2(x+1)\sqrt{3x+1}]+[(2x+1)+(x+2)-2\sqrt{(2x+1).(x+2)}]=0$
$\Leftrightarrow (x+1-\sqrt{3x+1})^{2}+(\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2})^{2}=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+1-\sqrt{3x+1}=0\\ \sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+1=\sqrt{3x+1}(DK:x\geq -1)\\\sqrt{2x+1}=\sqrt{x+2} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x+1)^{2}=3x+1\\2x+1=x+2 \end{matrix}\right.$
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x(x-1)=0\\ x=1 \end{matrix}\right.$
$ \Leftrightarrow x=1(t/m)$
Vậy...

2/ Xét $\sqrt{8a^{2}+56}+\sqrt{8b^{2}+56}+\sqrt{4c^{2}+7}$
$=\sqrt{8(a^{2}+7)}+\sqrt{8(b^{2}+7)}+\sqrt{4c^{2}+7}$
$=\sqrt{8(a^{2}+ab+2bc+2ac)}+\sqrt{8(b^{2}+ab+2bc+2ac)}+\sqrt{4c^{2}+ab+2bc+2ac}$
$=2\sqrt{2(a+b)(a+2c)}+2\sqrt{2(b+a)(b+2c)}+\sqrt{(a+2c)(b+2c)}$
$\leq 2(a+b)+(a+2c)+2(b+a)+(b+2c)+\frac{(a+2c)+(b+2c)}{2}$
$=\frac{11a+11b+12c}{2}$
$\Rightarrow Q\geq 2$
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=1;c=\frac{3}{2}[/tex]

 

[Thánh Lầy Lội]

Thốn hơn đề chuyên Chuyên k có tuổi vs đề thường

 

[Thần mộ 2]

@Ann Lee
Câu 3 bài hình không dễ,nhưng chú ý sau khi quy đồng ta có thể sử dụng BĐT Schur
Còn bài hệ,ra được phương trình đó là đúng rồi,nhưng có vẻ bạn chưa chịu tư duy?Nhóm hằng đẳng thức xem?
Cám ơn bạn @Thánh Lầy Lội đã đăng hộ đề chuyên

#Ann Lee: Cảm ơn anh vì cái ý tưởng cho bài hệ . Em sẽ tiếp tục suy nghĩ câu 3 bài hình.

 

[Thần mộ 2]

Mình xin edit lại đề chuyên dưới dạng $LATEX$ để các bạn dễ xem.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH
$\boxed{\text{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học$:2018-2019$
Môn:Toán(chuyên)
Thời gian làm bài$:150$ phút
(Đề thi gồm$:01$ trang)
Câu $1.(2,0$ điểm $)$
a)Rút gọn:
$P=\dfrac{x^2}{(x+y)(1-y)}-\dfrac{y^2}{(x+y)(1+x)}-\dfrac{x^2y^2}{(1+x)(1-y)}$
b)Chứng minh:
$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2017^2}+\frac{1}{2018^2}}<2018$
Câu $2.(2,0$ điểm $)$
a)Giải phương trình:
$2((1-x)\sqrt{x^2+2x-1}+x)=x^2-1$
b)Giải hệ
$\left\{\begin{matrix} x-3y-2+\sqrt{y(x-y-1)+x}=0 & \\ 3\sqrt{8-x}-\dfrac{4y}{\sqrt{y+1}+1}=x^2-14y-8 & \end{matrix}\right.$
Câu $3.(3,0$ điểm $)$
Cho đoạn thẳng $AB$,điểm $C$ nằm giữa $A$ và $B$.Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $AB$,vẽ nửa đường tròn đường kính $AB$ và nửa đường tròn đường kính $BC(M \ne B,C)$
Kẻ $MH \perp BC(H \in BC)$,đường thẳng $MH$ cắt nửa đường tròn đường kính $AB$ tại $K$.Hai đường thẳng $AK$ và $CM$ giao nhau tại $E$
a)Chứng minh$:BE^2=BC.AB$
b)Từ $C$ kẻ $CN \perp AB(N \in$ nửa đường tròn đường kính $AB)$.Gọi $P$ là giao $NK$ và $CE$.
Chứng minh:tâm đường tròn nội tiếp $\triangle BNE,\triangle PNE \in BP$
c)Cho $BC=2R$.Gọi $O_1,O_2$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle MCH,\triangle MBH$.Xác định $M$ để chu vi $\triangle O_1HO_2$ max
Câu $4.(1,5$ điểm $)$
a)Tìm cặp số nguyên $(x;y)$ thoả:$2x^2+5y^2=41+2xy$
b)Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ không vượt quá $2019$ thoả $n^3+2019$ chia hết cho $6$
Câu $5.(1,5$ điểm $)$
a)Cho các số thực dương $a;b$ thoả $\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$
Chứng minh:
$3(a+b)^2-(a+b)+4ab \geq \dfrac{1}{2}\sqrt{(a+3b)(b+3a)}$
b)Cho $100$ điểm cùng thuộc mặt phẳng sao cho trong bất kỳ $4$ điểm nào cũng có ít nhất $3$ điểm thẳng hàng.
Chứng minh ta có thể bỏ đi $1$ điểm trong $100$ điểm đó để $99$ điểm còn lại $\in$ 1 đường thẳng.
Đánh giá:
Đề chuyên khá hay,bài hình phù hợp với học sinh chuyên,bài PT,HPT tuy hơi cũ nhưng phân loại tốt,bài tổ hợp thì hơi cơ bản, còn lại các bài kia năm nào cũng thấy ra tương tự,hoàn toàn có thể tự làm được

 

[Thánh Lầy Lội]

Mình xin edit lại đề chuyên dưới dạng $LATEX$ để các bạn dễ xem.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH
$\boxed{\text{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học$:2018-2019$
Môn:Toán(chuyên)
Thời gian làm bài$:150$ phút
(Đề thi gồm$:01$ trang)
Câu $1.(2,0$ điểm $)$
a)Rút gọn:
$P=\dfrac{x^2}{(x+y)(1-y)}-\dfrac{y^2}{(x+y)(1+x)}-\dfrac{x^2y^2}{(1+x)(1-y)}$
b)Chứng minh:
$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2017^2}+\frac{1}{2018^2}}<2018$
Câu $2.(2,0$ điểm $)$
a)Giải phương trình:
$2((1-x)\sqrt{x^2+2x-1}+x)=x^2-1$
b)Giải hệ
$\left\{\begin{matrix} x-3y-2+\sqrt{y(x-y-1)+x}=0 & \\ 3\sqrt{8-x}-\dfrac{4y}{\sqrt{y+1}+1}=x^2-14y-8 & \end{matrix}\right.$
Câu $3.(3,0$ điểm $)$
Cho đoạn thẳng $AB$,điểm $C$ nằm giữa $A$ và $B$.Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $AB$,vẽ nửa đường tròn đường kính $AB$ và nửa đường tròn đường kính $BC(M \ne B,C)$
Kẻ $MH \perp BC(H \in BC)$,đường thẳng $MH$ cắt nửa đường tròn đường kính $AB$ tại $K$.Hai đường thẳng $AK$ và $CM$ giao nhau tại $E$
a)Chứng minh$:BE^2=BC.AB$
b)Từ $C$ kẻ $CN \perp AB(N \in$ nửa đường tròn đường kính $AB)$.Gọi $P$ là giao $NK$ và $CE$.
Chứng minh:tâm đường tròn nội tiếp $\triangle BNE,\triangle PNE \in BP$
c)Cho $BC=2R$.Gọi $O_1,O_2$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle MCH,\triangle MBH$.Xác định $M$ để chu vi $\triangle O_1HO_2$ max
Câu $4.(1,5$ điểm $)$
a)Tìm cặp số nguyên $(x;y)$ thoả:$2x^2+5y^2=41+2xy$
b)Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ không vượt quá $2019$ thoả $n^3+2019$ chia hết cho $6$
Câu $5.(1,5$ điểm $)$
a)Cho các số thực dương $a;b$ thoả $\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$
Chứng minh:
$3(a+b)^2-(a+b)+4ab \geq \dfrac{1}{2}\sqrt{(a+3b)(b+3a)}$
b)Cho $100$ điểm cùng thuộc mặt phẳng sao cho trong bất kỳ $4$ điểm nào cũng có ít nhất $3$ điểm thẳng hàng.
Chứng minh ta có thể bỏ đi $1$ điểm trong $100$ điểm đó để $99$ điểm còn lại $\in$ 1 đường thẳng.
Đánh giá:
Đề chuyên khá hay,bài hình phù hợp với học sinh chuyên,bài PT,HPT tuy hơi cũ nhưng phân loại tốt,bài tổ hợp thì hơi cơ bản, còn lại các bài kia năm nào cũng thấy ra tương tự,hoàn toàn có thể tự làm được

Bất hơi dễ

 

[Sở Huyền Anh]

có đề sinh chuyên không ạ cho em xin với:r2:r2:r2:r2

 

[kingsman(lht 2k2)]

Mình xin edit lại đề chuyên dưới dạng $LATEX$ để các bạn dễ xem.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH
$\boxed{\text{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học$:2018-2019$
Môn:Toán(chuyên)
Thời gian làm bài$:150$ phút
(Đề thi gồm$:01$ trang)
Câu $1.(2,0$ điểm $)$
a)Rút gọn:
$P=\dfrac{x^2}{(x+y)(1-y)}-\dfrac{y^2}{(x+y)(1+x)}-\dfrac{x^2y^2}{(1+x)(1-y)}$
b)Chứng minh:
$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2017^2}+\frac{1}{2018^2}}<2018$
Câu $2.(2,0$ điểm $)$
a)Giải phương trình:
$2((1-x)\sqrt{x^2+2x-1}+x)=x^2-1$
b)Giải hệ
$\left\{\begin{matrix} x-3y-2+\sqrt{y(x-y-1)+x}=0 & \\ 3\sqrt{8-x}-\dfrac{4y}{\sqrt{y+1}+1}=x^2-14y-8 & \end{matrix}\right.$
Câu $3.(3,0$ điểm $)$
Cho đoạn thẳng $AB$,điểm $C$ nằm giữa $A$ và $B$.Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $AB$,vẽ nửa đường tròn đường kính $AB$ và nửa đường tròn đường kính $BC(M \ne B,C)$
Kẻ $MH \perp BC(H \in BC)$,đường thẳng $MH$ cắt nửa đường tròn đường kính $AB$ tại $K$.Hai đường thẳng $AK$ và $CM$ giao nhau tại $E$
a)Chứng minh$:BE^2=BC.AB$
b)Từ $C$ kẻ $CN \perp AB(N \in$ nửa đường tròn đường kính $AB)$.Gọi $P$ là giao $NK$ và $CE$.
Chứng minh:tâm đường tròn nội tiếp $\triangle BNE,\triangle PNE \in BP$
c)Cho $BC=2R$.Gọi $O_1,O_2$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle MCH,\triangle MBH$.Xác định $M$ để chu vi $\triangle O_1HO_2$ max
Câu $4.(1,5$ điểm $)$
a)Tìm cặp số nguyên $(x;y)$ thoả:$2x^2+5y^2=41+2xy$
b)Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ không vượt quá $2019$ thoả $n^3+2019$ chia hết cho $6$
Câu $5.(1,5$ điểm $)$
a)Cho các số thực dương $a;b$ thoả $\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$
Chứng minh:
$3(a+b)^2-(a+b)+4ab \geq \dfrac{1}{2}\sqrt{(a+3b)(b+3a)}$
b)Cho $100$ điểm cùng thuộc mặt phẳng sao cho trong bất kỳ $4$ điểm nào cũng có ít nhất $3$ điểm thẳng hàng.
Chứng minh ta có thể bỏ đi $1$ điểm trong $100$ điểm đó để $99$ điểm còn lại $\in$ 1 đường thẳng.
Đánh giá:
Đề chuyên khá hay,bài hình phù hợp với học sinh chuyên,bài PT,HPT tuy hơi cũ nhưng phân loại tốt,bài tổ hợp thì hơi cơ bản, còn lại các bài kia năm nào cũng thấy ra tương tự,hoàn toàn có thể tự làm được

câu 5
a) bdt thức <=>
[tex]3a^{2}+6ab+3b^{2}-a-b+4ab\geq \frac{1}{2}\sqrt{(a+3b)(b+3a)}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a+b+\frac{1}{2}\sqrt{(b+3a)(a+3b)}\leq 10+ab+3a^{2}+3b^{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 4a+4b+2\sqrt{(b+3a)(a+3b)}\leq 4(ab+3b^{2}+3a^{2}+9ab )[/tex]
[tex]\Leftrightarrow b+3a+a+3b+2\sqrt{(b+3a)(a+3b)}\leq 4\sqrt{(b+3a)(a+3b)}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}}\leq 2[/tex] (**)
áp dụng Co-si cho 2 số dương cho bdt (*) ta dc
[tex]\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+3b}}=\sqrt{\frac{a}{a+b}}.\sqrt{\frac{a+b}{a+3b}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a+3b})(1)[/tex]
và
[tex]\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}=\sqrt{\frac{1}{2}}.\sqrt{\frac{2b}{a+3b}}\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{2b}{a+3b})(2)[/tex]
từ (1) và (2) ta được
[tex]\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}\leq \frac{1}{2}(\frac{3}{2}+\frac{a}{a+b})(3)[/tex]
tt ta có
[tex]\frac{1}{\sqrt{b+3a}}\leq \frac{1}{2}(\frac{3}{2}+\frac{b}{a+b})(4)[/tex]
từ (3) và (4)
ta dượcf
[tex]\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}}\leq 2[/tex]
đẳng thức xảy xa khi a=b=1/4
(*) đúng => bdt đã cho đúng
b) tối mình làm chừ bận rồi ,nhìn tổ cũng dc mà