Câu 4:
Theo BĐT AM-GM ta có:
[tex]\sqrt{a^{3}+1}=\sqrt{(a+1)(a^{2}-a+1)}\leq \frac{a+1+a^{2}-a+1}{2}=\frac{a^{2}+2}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{3}+1}+1}\geq \frac{a^{2}}{\frac{a^{2}+2}{2}+1}=\frac{2a^{2}}{a^{2}+4}=2-\frac{8}{a^{2}+4}\geq 2-\frac{8}{2\sqrt{a^{2}.4}}=2-\frac{2}{a}[/tex]
Tương tự: [tex]\frac{b^{2}}{\sqrt{b^{3}+1}+1}\geq 2-\frac{2}{b};\frac{c^{2}}{\sqrt{c^{3}+1}+1}\geq 2-\frac{2}{c}[/tex]
Cộng 3 BĐT cùng chiều trên ta được
[tex]\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{3}+1}+1}+\frac{b^{2}}{\sqrt{b^{3}+1}+1}+\frac{c^{2}}{\sqrt{c^{3}+1}+1}\geq 2-\frac{2}{a}+2-\frac{2}{b}+ 2-\frac{2}{b}=6-2.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=6-2.\frac{3}{2}=3[/tex] (đpcm)
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c=2[/tex]
Câu 1:
2/ Có [tex]a+b+c=0\Rightarrow a=-b-c[/tex]
Xét $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$
$=(-b-c)^{3}+b^{3}+c^{3}-3.(-b-c)bc$
$=-(b+c)^{3}+b^{3}+c^{3}+3bc(b+c)$
$=-(b+c)^{3}+(b+c)^{3}=0$
$\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$ (đpcm)
3/ Có $A=a^{2}+b^{2}+c^{2}-abc=(x+\frac{1}{x})^{2}+(y+\frac{1}{y})^{2}+(xy+\frac{1}{xy})^{2}-(x+\frac{1}{x})(y+\frac{1}{y})(xy+\frac{1}{xy})$
$=x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}+y^{2}+2+\frac{1}{y^{2}}+(xy)^{2}+2+\frac{1}{(xy)^{2}}-\left ( x^{2}y^{2}+1+x^{2}+\frac{1}{y^{2}}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+1+\frac{1}{x^{2}y^{2}} \right )$
$=4$
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào x;y;z
Câu 5:
a/ [tex]x^{2}-2xy+2y^{2}+4y-13=0\Leftrightarrow (x-y)^{2}+(y+2)^{2}=17[/tex] (*)
Vì x;y là các số tự nhiên nên [tex](x-y)^{2};(y+2)^{2}[/tex] là các số chính phương
Mặt khác [tex]17=1^{2}+4^{2}[/tex]; [tex]y+2\geq 2\Rightarrow (y+2)^{2}\geq 4[/tex] nên từ (*) suy ra:
[tex]\left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}=1^{2}\\ (y+2)^{2}=4^{2} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=1\\y+2=4 \end{matrix}\right.[/tex] hoặc [tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=-1\\y+2=4 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3\\ y=2 \end{matrix}\right.[/tex] hoặc [tex]\left\{\begin{matrix} x=1\\y=2 \end{matrix}\right.[/tex]
Vậy (x;y)=(3;2);(1;2)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
